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Sección 21.5 Distribución de magnitudes de velocidad moleculares 601
Finalizar Este resultado indica que en T 2 500 K, sólo una pequeña fracción de los átomos están en el nivel energético
superior. De hecho, por cada átomo en el nivel energético superior, hay aproximadamente 1 000 átomos en el nivel inferior.
El número de átomos en el nivel superior aumenta incluso a temperaturas más altas, pero la ley de distribución especifica
que en equilibrio siempre hay más átomos en el nivel inferior que en el nivel superior.
¿Qué pasaría si? ¿Y si los niveles de energía en la figura 21.9 estuvieran más juntos en energía? ¿La fracción de los átomos
en el nivel energético superior aumentaría o disminuiría?
Respuesta Si el nivel excitado es menor en energía que en la figura 21.9, sería más fácil que la agitación térmica excitara
átomos a este nivel y la fracción de átomos en este nivel energético sería mayor. Vea esto matemáticamente al expresar la
ecuación (1) como
r 2 e 1E 2 E 1 2>k B T
donde r 2 es la relación de átomos que tienen energía E 2 en relación con los que tienen energía E 1 . Al derivar respecto de
E 2 , se encuentra
dr 2
dE 2
d
dE 2
1e 1E 2 E 1 2>k B T 2
E 2
k B T e 1E 2 E 1 2>k B T 6 0
Ya que la derivada tiene un valor negativo, a medida que E 2 disminuye, r 2 aumenta.
Ahora que se explicó la distribución de energías, piense acerca de la distribución de
magnitudes de velocidad moleculares. En 1860, James Clerk Maxwell (1831–1879) obtuvo
una expresión que describe la distribución de magnitudes de velocidad moleculares en una
forma muy definida. Su obra, y desarrollos posteriores de otros científicos, generaron
una gran controversia porque en esa época no se podía lograr experimentalmente la detección
directa de moléculas. Sin embargo, alrededor de 60 años después, se diseñaron
experimentos que confirmaron las predicciones de Maxwell.
Considere un contenedor de gas cuyas moléculas tienen alguna distribución de magnitudes
de velocidad. Suponga que se busca determinar cuántas moléculas de gas tienen
una rapidez en el intervalo de, por ejemplo, 400 a 401 m/s. La intuición dicta que la distribución
de rapidez dependa de la temperatura. Además, se espera que la distribución
tenga un máximo en la vecindad de v rms . Esto es, se espera que pocas moléculas tengan
rapideces mucho menores o mayores que v rms porque dichas magnitudes de velocidad
extremas sólo resultan de una improbable cadena de colisiones.
La distribución de rapidez observada en las moléculas de gas en equilibrio térmico se
muestra en la figura 21.10 (página 602). La cantidad N v , llamada función de distribución
de rapidez de Maxwell–Boltzmann, se define del modo siguiente. Si N es el número total
de moléculas, el número de moléculas con magnitudes de velocidad entre v y v dv
es dN N v dv. Este número también es igual al área del rectángulo coloreado en la figura
21.10. Además, la fracción de moléculas con magnitudes de velocidad entre v y v dv es
(N v dv)/N. Esta fracción también es igual a la probabilidad de que una molécula tenga
una rapidez en el intervalo de v a v dv.
La expresión fundamental que describe la distribución de magnitudes de velocidad de
N moléculas de gas es
Cortesía de AIP Niels Bohr Library, Lande
Collection
LUDWIG BOLTZMANN
Físico austriaco (1844–1906)
Boltzmann hizo muchas aportaciones
importantes al desarrollo de la teoría
cinética de los gases, electromagnetismo
y termodinámica. Su obra pionera en el
campo de la teoría cinética condujo a la
rama de la física conocida como mecánica
estadística.
N v
m 0
3>2
4pN a
2pk B T b v 2 e m 0v 2 >2k B T
(21.24)
donde m 0 es la masa de una molécula de gas, k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura
absoluta. 3 Observe la apariencia del factor Boltzmann e E/k BT con E 1 2m 0 v 2 .
3 Para la deducción de esta expresión, vea un texto avanzado acerca de termodinámica.