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280 Capítulo 10 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo
EJEMPLO 10.5
Cilindro sólido uniforme
Un cilindro sólido uniforme tiene un radio R, masa M y longitud L. Calcule su momento
de inercia en torno a su eje central (el eje z en la figura 10.10).
SOLUCIÓN
Conceptualizar Para simular esta situación, imagine que hace girar una lata de jugo
congelado en torno a su eje central.
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución, con el uso de la definición
de momento de inercia. Como con el ejemplo 10.4, se debe reducir el integrando a
una sola variable.
Es conveniente dividir el cilindro en muchos cascarones cilíndricos, cada uno con
radio r, grosor dr y longitud L, como se muestra en la figura 10.10. La densidad del cilindro
es . El volumen dV de cada cascarón es su área de sección transversal multiplicada
por su longitud: dV L dA L(2r) dr.
dr
L
z
Figura 10.10 (Ejemplo 10.5)
Cálculo de I en torno al eje z para un
cilindro sólido uniforme.
r
R
Exprese dm en términos de dr : dm rdV 2prLr dr
Sustituya esta expresión en la ecuación 10.17: I z r 2 dm r 2 12prLr dr2 2prL
0
R
r 3 dr
1
2prLR 4
Use el volumen total R 2 L del cilindro para expresar su
densidad:
1
Sustituya este valor en la expresión para I z : I z 2p a
M
pR 2 L b LR4 1 2MR 2
Compruebe este resultado en la tabla 10.2.
¿Qué pasaría si? ¿Qué pasa si la longitud del cilindro en la figura 10.10 aumenta a 2L, mientras la masa M y el radio R se
mantienen fijos? ¿Cómo cambia el momento de inercia del cilindro?
Respuesta Observe que el resultado para el momento de inercia de un cilindro no depende de L, la longitud del cilindro.
Se aplica igualmente bien a un largo cilindro y a un disco plano que tengan los mismos masa M y radio R. Debido a eso, el
momento de inercia del cilindro no sería afectado por cambiar su longitud.
r
M
V
M
pR 2 L
El cálculo de momentos de inercia de un objeto en torno a un eje arbitrario puede ser
complicado, incluso para un objeto considerablemente simétrico. Por fortuna, el uso de
un importante teorema, llamado teorema de ejes paralelos, con frecuencia simplifica el
cálculo.
Para generar el teorema de ejes paralelos, suponga que un objeto da vueltas en torno
al eje z, como se muestra en la figura 10.11. El momento de inercia no depende de cómo
se distribuye la masa a lo largo del eje z; como se encontró en el ejemplo 10.5, el momento
de inercia de un cilindro es independiente de su longitud. Imagine colapsar el objeto
tridimensional en un objeto plano como en la figura 10.11b. En este proceso imaginario,
toda la masa se mueve paralela al eje z hasta que se encuentra en el plano xy. Las coordenadas
del centro de masa del objeto ahora son x CM , y CM y z CM 0. Sea el elemento de masa
dm que tiene coordenadas (x, y, 0). Ya que este elemento está a una distancia r x 2 y 2
del eje z, el momento de inercia en torno al eje z es
I r 2 dm 1x 2 y 2 2 dm
Se pueden relacionar las coordenadas x, y del elemento de masa dm a las coordenadas de
este mismo elemento ubicadas en un sistema coordenado que tenga el centro de masa
del objeto como su origen. Si las coordenadas del centro de masa son x CM , y CM y z CM 0