Serway-septima-edicion-castellano

508 Capítulo 18 Sobreposición y ondas estacionarias
Aplique la ecuación 18.2 para hallar las posiciones de los nodos: x n l 2
n a p 3 b cm n
0, 1, 2, 3, p
Utilice la ecuación 18.3 para encontrar las posiciones de los antinodos:
x n l 4
n a p 6 b cm n
1, 3, 5, 7, p
L
Figura 18.9 Una cuerda de
longitud L fija en ambos extremos.
18.3 Ondas estacionarias en una cuerda fija
en ambos extremos
Considere una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, como se muestra en la figura
18.9. Este sistema se usará como modelo para una cuerda de guitarra o piano. En la cuerda
se pueden establecer ondas estacionarias mediante una sobreposición continua de ondas
incidentes y reflejadas desde los extremos. Advierta que hay una condición frontera para
las ondas en la cuerda. Ya que los extremos de la cuerda están fijos, necesariamente tienen
desplazamiento cero y, por ende, son nodos por definición. Esta condición frontera resulta
en que la cuerda tenga un número de patrones de oscilación naturales discretos, llamados
modos normales, cada uno con una frecuencia característica que se calcula con facilidad.
Esta situación en la que sólo se permiten ciertas frecuencias de oscilación se llama cuantización;
la cual es un acontecimiento común cuando las ondas se someten a condiciones
frontera y es una característica central para las explicaciones de física cuántica en la versión
extendida de este texto. Note que en la figura 18.8 no hay condiciones frontera, así que
se pueden establecer ondas estacionarias de cualquier frecuencia; no hay cuantización sin
condiciones frontera. Ya que las condiciones frontera se presentan con tanta frecuencia
para las ondas, para la explicación que sigue se identifica un modelo de análisis llamado
modelo de ondas bajo condiciones de frontera.
Los modos de oscilación normales para la cuerda de la figura 18.9 se describen al
imponer las condiciones frontera de que los extremos sean nodos y que los nodos y antinodos
estén separados por un cuarto de longitud de onda. El primer modo normal que
es consistente con estos requisitos, que se muestra en la figura 18.10a, tiene nodos en
sus extremos y un antinodo en medio: es el modo de longitud de onda más larga que es
consistente con las condiciones frontera. El primer modo normal se presenta cuando la
longitud de onda 1 es igual al doble de la longitud de la cuerda, o 1 2L. La sección
de una onda estacionaria de un nodo al siguiente se llama bucle. En el primer modo normal,
la cuerda vibra en un bucle. En el segundo modo normal (véase la figura 18.10b),
la cuerda vibra en dos bucles. En este caso, la longitud de onda 2 es igual a la longitud
de la cuerda, como se expresa por 2 L. El tercer modo normal (véase la figura 18.10c)
corresponde al caso en que 3 2L/3 y la cuerda vibra en tres bucles. En general, las
longitudes de onda de los diferentes modos normales para una cuerda de longitud L fija
en ambos extremos son
A
A A A
A
A
N
N N N N
N N N
N
f 1 f 2 f 3
n 1
L –
1 1
n 3
L
3
2 l n 2
L l 2
–
2 l 3
a) b)
c)
Figura 18.10 Los modos normales de vibración de la cuerda de la figura 18.9 forman una serie armónica: a) la fundamental, o primer armónico;
b) el segundo armónico; c) el tercer armónico.