Serway-septima-edicion-castellano

Sección 10.5 Cálculo de momentos de inercia 281
y
y
y
dm
x, y
x
CM
x CM, y CM
y CM D
O
CM
x
x
x
r
Eje de
rotación
O
z
CM
Eje a
través de
CM
y
x
a)
Figura 10.11 a) Teorema de ejes paralelos. Si el momento de inercia en torno a un eje perpendicular
a la figura a través del centro de masa es I CM , el momento de inercia en torno al eje z es I z I CM MD 2 .
b) Dibujo en perspectiva que muestra el eje z (el eje de rotación) y el eje paralelo a través del centro
de masa.
b)
en el sistema coordenado original con centro en O, se ve en la figura 10.11a que las correspondencias
entre las coordenadas no primas y primas son x x x CM , y y y CM ,
y z z 0. Por lo tanto,
I 31x¿ x CM 2 2 1y¿ y CM 2 2 4dm
31x¿ 2 2 1y¿ 2 2 4dm 2x CM x¿dm 2y CM y¿dm 1x CM
2
y CM 2 2 dm
La primera integral es, por definición, el momento de inercia I CM en torno a un eje que
es paralelo al eje z y pasa a través del centro de masa. Las segundas dos integrales son cero
porque, por definición del centro de masa, x¿dm y¿dm 0. La última integral es simplemente
MD 2 porque dm M y D 2 x 2 CM y 2 CD . En consecuencia, se concluye que
I I CM MD 2 (10.18)
Teorema de ejes
paralelos
EJEMPLO 10.6
Aplicación del teorema de ejes paralelos
Considere una vez más la barra rígida uniforme de masa M y longitud L que se muestra en la figura 10.9. Encuentre el
momento de inercia de la barra en torno a un eje perpendicular a la barra a través de un extremo (el eje y en la figura
10.9).
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine que hace girar la barra en torno al punto final en lugar de hacerlo en el punto medio. Si tiene
una regleta a la mano, inténtelo y note el grado de dificultad al girarlo alrededor del extremo en comparación con girarlo
alrededor del centro.
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución, que supone el teorema de ejes paralelos.
1
Por intuición, se espera que el momento de inercia sea mayor que el resultado I CM 12ML 2 del ejemplo 10.4 porque hay
masa hasta una distancia L lejos del eje de rotación, mientras que la distancia más lejana en el ejemplo 10.4 fue sólo L/2.
La distancia entre el eje del centro de masa y el eje y es D L/2.
Use el teorema de ejes paralelos: I I CM MD 2 1 12ML 2 M a L 2 b 2
1
3ML 2
Compruebe este resultado en la tabla 10.2.