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538 Capítulo 19 Temperatura
15.11b. A temperatura ordinaria, los átomos en un sólido oscilan respecto a sus posiciones
de equilibrio con una amplitud de casi 10 11 m y una frecuencia cercana a 10 13 Hz.
El espaciamiento promedio entre los átomos es de poco más o menos 10 10 m. A medida
que la temperatura del sólido aumenta, los átomos oscilan con mayores amplitudes; como
resultado, la separación promedio entre ellos aumenta. 4 En consecuencia, el objeto se
expande.
Si la expansión térmica es suficientemente pequeña en relación con las dimensiones
iniciales de un objeto, el cambio en cualquier dimensión es, hasta una buena aproximación,
proporcional a la primera potencia del cambio de temperatura. Suponga que un
objeto tiene una longitud inicial L i a lo largo de alguna dirección en alguna temperatura
y la longitud aumenta en una cantidad L para un cambio en temperatura T. Ya que es
conveniente considerar el cambio fraccionario en longitud por cada grado de cambio de
temperatura, el coeficiente de expansión lineal promedio se define como
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 19.2
¿Los hoyos se vuelven más grandes
o más pequeños?
Cuando la temperatura de un
objeto se eleva, cada dimensión
lineal aumenta en tamaño. Esto
incluye cualquier hoyo en el
material, que se expande en la
misma forma como si el hoyo
estuviera lleno con el material,
como se muestra en la figura
19.8. Tenga en mente que la
noción de expansión térmica
es similar a una amplificación
fotográfica.
a + a
a
Figura 19.8 Expansión térmica
de una rondana metálica
homogénea. A medida que
la rondana se calienta, todas las
dimensiones aumentan. (La
expansión está exagerada en esta
figura.)
b
b + b
T i
T i + T
a
¢L>L i
¢T
Los experimentos demuestran que es constante para pequeños cambios de temperatura.
Para propósitos de cálculo, esta ecuación por lo general se reescribe como
o como
¢L aL i ¢T (19.4)
L f L i aL i 1T f T i 2 (19.5)
donde L f es la longitud final, T i y T f son las temperaturas inicial y final, respectivamente,
y la constante de proporcionalidad es el coeficiente promedio de expansión lineal para
un material determinado y tiene unidades de (°C) 1 .
Es útil pensar en la expansión térmica como un aumento efectivo o como una ampliación
fotográfica de un objeto. Por ejemplo, a medida que una rondana metálica se calienta
(figura 19.8), todas las dimensiones, incluido el radio del orificio, aumentan de acuerdo
con la ecuación 19.4. Una cavidad en un trozo de material se expande en la misma forma
como si la cavidad estuviese llena con el material.
La tabla 19.1 menciona los coeficientes de expansión lineal promedio de diferentes
materiales. Para dichos materiales, es positiva, lo que indica un aumento en longitud
a temperatura creciente. Sin embargo, éste no siempre es el caso. Algunas sustancias, la
calcita (CaCO 3 ) es un ejemplo, se expanden a lo largo de una dimensión ( positiva) y se
contraen en otra ( negativa) a medida que sus temperaturas aumentan.
Ya que las dimensiones lineales de un objeto cambian con la temperatura, se sigue que
el área superficial y el volumen también cambian. El cambio en volumen es proporcional
al volumen inicial V i y al cambio en temperatura de acuerdo con la relación
¢V bV i ¢T (19.6)
donde es el coeficiente de expansión volumétrica promedio. Para encontrar la correspondencia
entre y , suponga que el coeficiente de expansión lineal promedio del sólido
es el mismo en todas direcciones; es decir: suponga que el material es isotrópico. Considere
una caja sólida de dimensiones , w y h. Su volumen a cierta temperatura T i es V i wh.
Si la temperatura cambia a T i T, su volumen cambia a V i V, donde cada dimensión
cambia de acuerdo con la ecuación 19.4. Por lo tanto,
V i ¢V 1/ ¢/21w ¢w2 1h ¢h2
1/ a/ ¢T2 1w aw ¢T2 1h ah ¢T2
/wh 11 a ¢T2 3
V i 31 3a ¢T 3 1a ¢T2 2 1a ¢T2 3 4
4
Para mayor exactitud, la expansión térmica surge de la naturaleza asimétrica de la curva de energía potencial
para los átomos en un sólido, como se muestra en la figura 15.11a. Si en realidad los osciladores fueran
armónicos, las separaciones atómicas promedio no cambiarían sin importar la amplitud de la vibración.