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Sección 4.3 Movimiento de proyectil 83
de casi 100 m. Se espera que el valor de d, la distancia recorrida a lo largo
del plano, sea del mismo orden de magnitud.
Categorizar El problema se clasifica como el de una partícula en movimiento
de proyectil.
(0,0)
25.0 m/s
35.0
Analizar Es conveniente seleccionar el comienzo del salto como el origen.
Las componentes de velocidad inicial son v xi 25.0 m/s y v yi 0.
Del triángulo rectángulo de la figura 4.14, se ve que las coordenadas x
y y de la esquiadora en el punto de aterrizaje se conocen mediante x f
d cos 35.0° y y f d sen 35.0°.
y
d
x
Figura 4.14 (Ejemplo 4.5) Una saltadora deja la
rampa con movimiento en dirección horizontal.
Exprese las coordenadas de la saltadora como función del
tiempo:
1)
x f v xi t 125.0 m>s2t
2) y f v yi t
1
2a y t 2 1 2 19.80 m>s 2 2t 2
Sustituya los valores x f y y f en el punto de aterrizaje:
3)
d cos 35.0°
125.0 m>s2t
4) d sen 35.0°
1
2 19.80 m>s 2 2t 2
Resuelva la ecuación 3) para t y sustituya el resultado en la
ecuación 4):
Resuelva para d:
d sen 35.0°
d
2
1
2 19.80 m>s 2 d cos 35.0°
2a
25.0 m>s b
109 m
Evalúe las coordenadas x y y del punto en el que aterriza la
esquiadora:
x f d cos 35.0° 1109 m2cos 35.0° 89.3 m
y f d sen 35.0° 1109 m2sen 35.0° 62.5 m
Finalizar Compare estos resultados con las expectativas. Se esperaba que la distancia horizontal estuviera en el orden de
100 m, y el resultado de 89.3 m de hecho está en este orden de magnitud. Puede ser útil calcular el intervalo de tiempo que
la esquiadora está en el aire y compararlo con la estimación de aproximadamente 4 s.
¿Y si...? Suponga que todo en este ejemplo es igual, excepto
que la rampa se curva de modo que la esquiadora se
proyecta hacia arriba en un ángulo desde el extremo de la
pista. ¿Este diseño es mejor en términos de maximizar
la longitud del salto?
Respuesta Si la velocidad inicial tiene una componente
hacia arriba, la esquiadora estará en el aire más tiempo y,
debido a esto, deberá viajar más. Sin embargo, inclinar el
vector velocidad inicial hacia arriba reducirá la componente
horizontal de la velocidad inicial. En consecuencia, angular
hacia arriba el extremo de la pista a un ángulo más prolongado
en realidad puede reducir la distancia. Considere el caso
extremo: ¡la esquiadora se proyecta a 90° con la horizontal
y simplemente va arriba y abajo en el extremo de la pista!
Este argumento sugiere que debe haber un ángulo óptimo
entre 0° y 90° que represente un equilibrio entre hacer el
tiempo de vuelo más largo y la componente de velocidad
horizontal más pequeña.
Encuentre matemáticamente este ángulo óptimo. Las
ecuaciones de la 1) a la 4) se modifican de la forma siguiente,
si supone que la esquiadora se proyecta a un ángulo
respecto a la horizontal sobre un plano de aterrizaje con
pendiente con un ángulo arbitrario :
12 y32 S x f 1v i cos u2t d cos f
22 y42 S y f 1v i sen u2t
1
2 gt 2 d sen f
Al eliminar el tiempo t entre estas ecuaciones y aplicando
derivación para maximizar d en términos de , se llega (después
de varias etapas; véase el problema 62) a la siguiente
ecuación para el ángulo que da el valor máximo de d:
u 45°
Para el ángulo de pendiente en la figura 4.14, 35.0°;
esta ecuación resulta en un ángulo de lanzamiento óptimo
de 27.5°. Para un ángulo de pendiente de 0°, que
representa un plano horizontal, esta ecuación da un ángulo
de lanzamiento óptimo de 45°, como se esperaría (véase
la figura 4.10).
f
2