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590 Capítulo 21 Teoría cinética de los gases
Con esta expresión encuentre la presión total que se ejerce sobre la pared:
P
F
A
F
d 2 1
3 N m 0v 2
d 3 1
3 a N V b m 0v 2 (21.2)
Correspondencia entre
presión y energía cinética
molecular
P
2
3 a N V b11 2m 0 v 2 2
Este resultado indica que la presión de un gas es proporcional al número de moléculas por
cada unidad de volumen y a la energía cinética traslacional promedio de las moléculas,
1
2m 0 v 2 . Al analizar este modelo simplificado de un gas ideal, se obtiene un resultado importante
que relaciona la cantidad macroscópica de presión con una cantidad microscópica,
el valor promedio del cuadrado de la rapidez molecular. Debido a eso, se establece un
vínculo clave entre el mundo molecular y el mundo a gran escala.
Observe que la ecuación 21.2 verifica algunas características de la presión, con la que
probablemente esté familiarizado. Una forma de aumentar la presión dentro de un contenedor
es aumentar el número de moléculas por cada unidad de volumen N/V en el
contenedor. Esto es lo que hace cuando agrega aire a una llanta. La presión en la llanta
también se puede aumentar al incrementar la energía cinética traslacional promedio de
las moléculas de aire. Esto se logra al aumentar la temperatura de dicho aire, razón por la
cual la presión dentro de una llanta aumenta a medida que ésta se calienta durante viajes
largos. La continua flexión de la llanta, a medida que se mueve a lo largo de la superficie
del camino, resulta en trabajo consumido en el caucho conforme las partes de la llanta
se distorsionan, lo que causa un aumento en energía interna del caucho. La temperatura
aumentada del caucho resulta en la transferencia de energía por calor hacia el aire adentro
de la llanta. Esta transferencia aumenta la temperatura del aire, y este aumento en
temperatura a su vez produce un aumento en presión.
La temperatura es
proporcional a la energía
cinética promedio
Energía cinética
promedio por molécula
Interpretación molecular de la temperatura
Es posible obtener cierta comprensión del significado de la temperatura al escribir, primero
la ecuación 21.2 en la forma
2
PV 3N 1 1 2m 0 v 2 2
Ahora compare esta expresión con la ecuación de estado para un gas ideal (ecuación
19.10):
PV
Nk B T
Recuerde que la ecuación de estado respecto en los hechos experimentales concernientes
al comportamiento macroscópico de los gases. Al igualar los lados derechos de estas
expresiones se obtiene
2
T 1 1
3k
2m 0 v 2 2 (21.3)
B
Este resultado muestra que la temperatura es una medida directa de la energía cinética
molecular promedio. Al reordenar la ecuación 21.3, es posible relacionar la energía cinética
molecular traslacional con la temperatura:
1
2m 0 v 2 3 2k B T (21.4)
Esto es, la energía cinética traslacional promedio por molécula es 3 2k B T. Ya que v x
2 1
3v 2 ,
se sigue
En forma similar, para las direcciones y y z,
1 2 1
2m 0 v y 2k B T
1
2m 0 v x
2 1
2k B T (21.5)
y
1 2 1
2m 0 v z 2k B T
Por lo tanto, cada grado de libertad traslacional aporta una cantidad igual de energía,
1
2k B T al gas. (En general, un “grado de libertad” se refiere a un medio independiente por