Dispense

1.4. TEOREMI LIMITE 95
Ra¢ guriamo F (x) n per n crescente e, traslata con b = 4 per esigenze visive, la Gumbel con
con = 5 :
e 5(x
G(x) = e
4)
:
E’visivamente chiaro che F (x) n tende a G(x).
1 e
y
1.0
0.5
0.0
0 1 2 3 4 5
x2 n
per n =1, 4, 10, 25 e Gumbel (traslata)
Bisogna invece tener conto che, se si parte da distribuzioni F (x) radicalmente diverse,
si possono trovare al limite, per F (x) n , due altri tipi di forme. Vediamolo attraverso due
esempi. Se
con > 0, si trova, per n ! 1,
F (x) =
dove G(x) è la distribuzione di Frechet
1 x per x 1
0 per x < 1
F (x) n G x
n 1=
G(x) = e x per x 1
0 per x < 0 :
A titolo di esempio, per = 1, tracciamo i gra…ci di F (x), F (x) 5 , F (x) 10 , e della Frechet
x
e ( 10) 1
, che praticamente coincide con F (x) 10 .
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
­10 0 10 20 30
Convergenza alla distribuzione di Frechet
x
x