Dispense

2.3. TEST STATISTICI 141
in quanto E Z 4 1
= 3. Quindi
X (k)
k
ha media 1 e dev.st.
p 2
p k :
I valori di X(k)
k
esempio,
si trovano pertanto vicino ad 1, con elevata probabilità, se k è elevato. Per
P
X (10)
!
P
> 1:83 = 0:05
10
X (100)
!
> 1:24 = 0:05:
100
Questo fatto sarà la base del test chi-quadro.
Asintoticamente chi-quadro
Supponiamo che X sia una v.a. discreta che assume i valori 1; 2; :::; nclass con probabilitià
P (X = k) = pk
dove pk 2 [0; 1], Pnclass i=1
pk = 1.
Supponiamo che x1; :::; xn sia un campione sperimentale fatto di numeri che appartengono
all’insieme f1; 2; :::; nclassg. Per ogni k 2 f1; 2; :::; nclassg, indichiamo con bnk il numero di
elementi tra x1; :::; xn che valgono k (nk = Pn i=1 (xi k)) e con bpk la frequenza relativa con
cui si osserva k nel campione, cioè bpk = bnk
n .
Esempio 67 Nel problema delle preferenze tra A e B, codi…chiamoli con A=1, B=2; allora
nclass = 2, p1 = 65%, p2 = 35% (quelle ipotizzate nell’ipotesi nulla), bp1 = 47=100, bp2 =
53=100.
Calcoliamo la grandezza
2 =
nclass X
k=1
(bpk
pk
pk) 2
:
Questo è un numero relae positivo se con bpk intendiamo le frequenze empiriche di un vero
campione sperimentale, altrimenti è una v.a. se intendiamo le frequenze empiriche di un
ipotetico campione estratto da X, campione aleatorio.
Teorema 24 La distribuzione di probabilità della v.a. 2 converge in legge, per n ! 1, ad
una chi-quadro con nclass 1 gradi di libertà.
Signi…ca che
P
2 2 [a; b]
Z b
a
fnclass 1 (x) dx
dove fnclass 1 (x) è la densità chi-quadro con nclass 1 gradi di libertà.