Dispense

iv INDICE
1.2.16 Disuguaglianza di Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.17 Varianza e deviazione standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.18 Covarianza e coe¢ ciente di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.2.19 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.20 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.2.21 La funzione generatrice dei momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.2.22 De…nizione generale di valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.2.23 Proprietà generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.3.1 Una proprietà di concentrazione delle binomiali . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.2 Sul teorema degli eventi rari per v.a. di Poisson . . . . . . . . . . . . . 68
1.3.3 Identi…cazione di un modello di Poisson piuttosto che di uno binomiale 68
1.3.4 Processo di Bernoulli, ricorrenze, v.a. geometriche . . . . . . . . . . . 69
1.3.5 Tempo del k-esimo evento: binomiale negativa . . . . . . . . . . . . . 71
1.3.6 Teoremi sulle v.a. esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.3.7 Proprietà delle gaussiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.3.8 Variabili di Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.3.9 Densità Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.3.10 Densità Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.3.11 Code pesanti; distribuzione log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.3.12 Skewness e kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.4 Teoremi limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.4.1 Convergenze di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.4.2 Legge debole dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4.3 Legge forte dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.4.4 Stima di Cherno¤ (grandi deviazioni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.4.5 Teorema limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.4.6 Distribuzione del limite di massimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.5 Approfondimenti sui vettori aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.5.1 Trasformazione di densità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.5.2 Trasformazione lineare dei momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.5.3 Sulle matrici di covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.5.4 Vettori gaussiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2 Elementi di Statistica 113
2.1 Introduzione. Stimatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2 Intervalli di con…denza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.2 Soglie, ammissibili ecc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3 Test statistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.3.1 Un esempio prima della teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.3.2 Calcolo analitico del p-value nel precedente test per la media . . . . . 128
2.3.3 Ipotesi nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.3.4 Errori di prima e seconda specie; signi…catività e potenza di un test . 131