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56 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Questa è una situazione a correlazione sostanzialmente nulla. Costruiamo invece un campione Z simile a X ma un po’perturbato in modo aleatorio: Z=X+0.1*rnorm(100) cor(X,Z) [1] 0.9949628 plot(X,Z) Questa è una situazione ad elevatissima correlazione positiva. Proviamo poi W=-X+0.5*rnorm(100) cor(X,W) [1] -0.8987381 plot(X,W) Quest’ultima è una situazione a moderata/elevata correlazione negativa. Si noti che il coe¢ ciente di correlazione non è esattamente uguale al coe¢ ciente angolare, come si potrebbe pensare dai nomi. Si veda sotto il legame. Menzioniamo in…ne il fatto che il numero Cov (X; Y ) descrive bene l’eventuale legame lineare tra X ed Y (mentre è meno preciso per legami non lineari). Si può ad esempio dimostrare facilmente che, se X ed Y sono legate dalla relazione lineare Y = X + + " dove " (chiamato “errore”) è una v.a. indipendente da X, allora il coe¢ ciente che descrive
1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 57 il legame di proporzionalità lineare tra le variabili è dato da Lo si può veri…care calcolando = Cov (X; Y ) : V ar [X] Cov (X; Y ) = Cov (X; X + + ") ed applicando la linearità della covarianza nella seconda variabile. 1.2.19 Esempi Esempio 39 Se X B (1; p), si vede subito che anche X 2 B (1; p), quindi E X 2 = p. Pertanto E X 2 2 = p p 2 = pq: Per una Bernoulli di parametro p vale allora e = p pq. V ar [X] = pq Esempio 40 Se X B (n; p), usando il fatto che la somma di n v.a. B (1; p) indipendenti è una B (n; p), e ricordando che la varianza della somma di v.a. indipendenti è uguale alla somma delle varianze, troviamo V ar [X] = npq e = p n p pq: Quest’ultimo fatto era già stato anticipato in un esempio della lezione 2, riguardo al fatto che per n grande la binomiale si “concentra” intorno alla propria media. Esempio 41 Se X P ( ), vale V ar [X] = : Questo fatto si può dimostrare rigorosamente usando la densità di massa, ma richiede un certo numero di calcoli un po’noiosi. Accontentiamoci di accettare il risultato sulla base del seguente ragionamento sensato (ma non rigoroso): prendiamo una v.a. Xn B (n; pn), con = npn. Se n è grande, sappiamo che la legge di Xn approssima la legge di X; allora anche la varianza di Xn, che è npnqn dovrebbe approssimare la varianza di X; ma npnqn = qn e qn ! 1 per n ! 1 (in quanto qn = 1 pn = 1 n ). Esempio 42 Se X N ; 2 , vale V ar [X] = 2 : Nel prossimo paragrafo svolgeremo un conto di questo tipo ma più complesso, per cui ora omettiamo la veri…ca. Quindi i due parametri e 2 della normale N ; 2 sono la sua media e la sua varianza (come le notazioni lasciavano pensare).
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Elementi di Probabilità, Statistic
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