Dispense

3.1. PROCESSI A TEMPO DISCRETO 151
Esempio 75 (continuazione sulla RW) Le variabili Xn non sono indipendenti (Xn+1
dipende in modo ovvio da Xn). Usando la ricorrenza si veri…ca subito che
Inoltre, si veri…ca subito che
Xn+1 =
0 = 0
nX
Wi:
i=0
n+1 = n; n 0
quindi n = 0 per ogni n 0. In…ne, veri…care per esercizio che, se 2 è l’intensità del WN
e n è la deviazione standard della RW, vale
n = p n ; n 0:
L’interpretazione intuitiva di questo risultato è che Xn “cresce” (pur ‡uttuando tra positivi
e negativi, si veda la …gura sopra) come p n, grossolanamente parlando.
Esempio 76 (continuazione sulla RW) Per quanto riguarda la dipendenza temporale, intanto
vale C (t; s) = R (t; s). Vale poi
2
3
nX
R (m; n) = E 4
mX
nX mX
nX mX
5 = E [WiWj] = (i j) 2 :
i=0
Wi
j=0
Wj
i=0 j=0
i=0 j=0
Se m n, troviamo R (m; n) = n 2 , quindi in generale R (m; n) = (n ^ m) 2 . Si può poi
vri…care, per m n, che
Questo implica in particolare
(m; n) =
r n
m :
(m; 1) ! 0 as m ! 1:
Possiamo interpretare questo risultato dicendo che la RW perde memoria della posizione
iniziale.