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224 CAPITOLO 4. ANALISI E PREVISIONE DI SERIE STORICHE bisogna prima calcolare esplicitamente le previsioni, altre volte il calcolo della previsione rimane implicito e si calcolano direttamente i residui. Torniamo in dettaglio su questo punto tra un momento. Passo 3 : si calcola la deviazione standard " dei residui, che descrive lo scostamento tipico, lungo il periodo noto, tra previsioni date dal modello e dati veri. Se si fa tutto questo relativamente a diversi modelli, sarebbe meglio escludere un intervallo comune iniziale di valori (anche se non è strettamente necessario, in quanto " già tiene conto del numero di dati). Il modello migliore (secondo questa …loso…a del “con‡itto di interessi”) è quello con " più basso. Notiamo che è equivalente calcolare la varianza dei residui, 2 ", oppure la varianza spiegata 1 dove 2 X è la varianza dei dati. Naturalmente vince il modello con la maggior varianza spiegata. Alcuni commenti sul passo 2. In pratica, i residui dei modelli che stiamo studiando (es. quelli dell’esercizio della lezione 13) ci sono forniti dal software, usando i comandi appropriati (vedere l’help dei singoli comandi). Però, teoricamente, di cosa stiamo parlando? Vediamo i tre metodi separatamente. Decomposizione. La serie storica nota Xt viene scomposta nella somma di trend, stagionalità e residui Xt = Tt + St + "t: Per residuo al tempo t, qui si intende ovviamente il numero "t. Potremmo anche dire che Tt + St è la previsione al tempo t, ma è super‡uo. AR. Si ipotizza che la serie storica nota Xt soddis… l’equazione ricorsiva 2 " 2 X Xt = a1Xt 1 + ::: + apXt p + "t (eventualmente dopo aver sottratto un valor medio ). Per residuo al tempo t, qui si intende il numero "t, calcolabile dai dati come di¤erenza tra il valore vero Xt e quello previsto a1Xt 1 + ::: + apXt p: "t = Xt (a1Xt 1 + ::: + apXt p) : HW. Qui i residui si vedono in modo più indiretto. L’iterazione coinvolge grandezze ausiliarie, s (t), m (t), F (t), che usano i dati per essere aggiornate. Note queste grandezze al tempo t 1, si calcola la previsione p (t) del valore al tempo t con la formula e poi i residui con la formula p (t) = F (t) (m (t 1) + s (t 1)) "t = Xt p (t) : Comunque, come dicevamo, lo fa il software, basta saperlo chiedere.
4.4. METODI REGRESSIVI 225 4.3.6 Esercizi sul confronto tra modelli previsionali Gli esercizi che seguono si riferiscono all’esercizio n. 9 della sezione seguente. Esercizio 28 Applicare la cross-validation come nell’esercizio n. 9, ma prevedendo un paio di anni attorno al 2007, a partire dai precedenti. Esercizio 29 Usare il metodo SET per l’esempio dell’esercizio n. 9 e valutare le sue prestazioni rispetto a HW, tramite cross-validation. Esercizio 30 Usare il metodo SET ed il metodo HW sulla serie dei cereali e valutare le prestazioni con la cross-validation. Esercizio 31 Relativamente ai dati dell’esercizio dell’esercizio n. 9, i) estrarre i residui dai metodi HW, AR, stl ii) ritagliare una …nestra comune (escludere un tratto iniziale comune) iii) calcolare la varianza spiegata nei tre casi, osservando quale è migliore. 4.4 Metodi regressivi L’esposizione qui di questo argomento pone dei problemi di consequenzialità, in quanto si basa tecnicamente sulla regressione lineare multipla che verrà descritta nel capitolo di statistica multivariata. Ci limitiamo quindi ad alcune idee, che devono essere riprese. 4.4.1 AR come regressione lineare multipla Un modello di regressione lineare multipla è un modello della forma Y = a1X1 + ::: + apXp + b + " dove le v.a. X1; :::; Xp sono dette fattori, predittori, input, la v.a. Y è l’output, la grandezza da predire, da spiegare, la variabile dipendente, " è un termine aleatorio di errore, e a1; :::; ap; b sono i coe¢ ciendi del modello (b è l’intercetta). La logica è quella di avere una v.a. Y di cui vorremmo capire di più; nel momento in cui valga un modello regressivo del tipo descritto, capiamo che Y è in‡uenzata dai fattori X1; :::; Xp, secondo l’ampiezza dei coe¢ cienti a1; :::; ap. La variabilità di Y , precedentemente oscura, viene parzialmente spiegata dal modello (parzialmente, in quanto c’è sempre il termine di errore casuale "). La forma algebrica di queste equazioni è evidentemente molto simile a quella dei modelli AR(p): Xt = 1Xt 1 + ::: + pXt p + b + "t solo che qui le diverse variabili compongono un unico processo stocastico. Ma la logica è la stessa appea descritta per la regressione: si immagina che i valori assunti da Xt siano in‡uenzati, spiegati dai valori di Xt 1; :::; Xt p, tramite i pesi 1; :::; p, a meno dell’errore "t. E’quindi chiaro che, una volta che saranno note le procedure di calcolo della regressione lineare, queste possono essere applicate ai modelli AR(p). Siccome quelle procedure sono improntate al metodo dei minimi quadrati, in sostanza è come se si stesse applicando il comando ar.ols ad una serie storica.
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