Dispense

3.4. UN TEOREMA ERGODICO 165
in quanto C (u; v) dipende solo da u v (quindi C (u; v) = C (u + s; v + s)). Anche la matrice
di covarianza non dipende da s, quindi la densità non dipende da s. La dimostrazione è
completa.
Molto utile è:
Proposizione 19 Sia (Xn) n2N un processo gaussiano e sia (Yn) n2N un processo tale che
Yn =
1X
j=1
anjXj + bn
cioè è trasformazione lineare di (Xn) n2N . Sui coe¢ cienti anj supponiamo che, per ogni n,
siano non nulli solo per un numero …nito di indici j (ma il risultato …nale resta vero anche
per somme in…nite, sotto opportune condizioni di sommabilità). Allora anche (Yn) n2N è
gaussiano.
Proof. Fissiamo n. Consideriamo il vettore
Y = (Y1; :::; Yn) :
Esso è, per ipotesi trasformazione lineare (o meglio a¢ ne) di una stringa …nita
X = (X1; :::; XNn)
cioè esiste Nn, una matrice A ed un vettore b tale che
Y = AX + b:
Il vettore X è gaussiano per ipotesi. Quindi anche Y lo è, per una proprietà che abbiamo
dimostrato sui vettori gaussiani.
Avendo dimostrato che (Y1; :::; Yn) è gaussiano per ogni n, abbiamo che il processo (Yn) n2N
è gaussiano.
Molti modelli trattati in queste note sono trasformazioni lineari del white noise, che è
un processo gaussiano, quindi tali modelli de…niscono processi gaussiani. Quando essi sono
stazionari in senso lato, lo sono anche in senso stretto.
3.4 Un teorema ergodico
Dal capitolo sulle convergenze di v.a. ed i teoremi limite, ricordiamo che una successione Yn
converge a Y in media quadratica se
lim
n!1 E
h
jYn Y j 2i
= 0;
in probabilità se per ogni " > 0
e tra i due concetti vale il legame:
lim
n!1 P (jYn Y j > ") = 0