Dispense

50 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Proof. Dobbiamo mostrare che a P (X a) E[X]. Mostriamolo nel caso particolare in
cui la v.a. X ammetta densità f(x). Poichè X 0, si ha f(x) = 0 per x < 0, quindi
E[X] =
Z +1
xf(x)dx =
0
Z +1
a
xf(x)dx a
Z a
xf(x)dx +
0
Z +1
a
Z +1
a
xf(x)dx
f(x)dx = a P (X > a):
Abbiamo usato il fatto che R a
0xf(x)dx 0 in quanto la funzione xf(x) è 0 nell’intervallo
d’integrazione [0; a], ed il fatto che la funzione xf(x) è af(x) nell’intervallo d’integrazione
[a; 1). La dimostrazione è completa.
Prendendo al posto di X ed a vari esempi di v.a. e numeri positivi, si ottengono numerose
conseguenze. Ecco alcuni esempi importanti.
Corollario 1 Data una v.a. X avente media e un numero a > 0, si ha
P (jX j > a) E[jX j2 ]
a2 :
Si ha infatti P (jX j > a) = P (jX j 2 > a 2 ), a cui si può applicare la disuguaglianza
di Chebyshev. Invece dell’elevamento al quadrato si può usare qualunque funzione monotona
crescente sui positivi, che conservi la disuguaglianza:
P ( (jX j) > a)
E[ (jX j)]
:
(a)
Osservazione 23 Questo corollario è utilissimo quando si usa = e x , > 0. In questo
caso a volte si trovano stime dall’alto ottimali (nel senso che valgono analoghe stime dal
basso). Vedremo la disuguaglianza di Cherno¤.
Osservazione 24 Prendiamo ad esempio la semplice disuguaglianza
P (jX j > a)
E[jX j]
:
a
Questa (come le altre) ha un’interpretazione gra…ca: la somma delle due aree sotto le “code”
della distribuzione f è abbastanza piccola e può essere controllata col valor medio di jX j.
Queste disuguaglianze sono utili quando la f non è nota o non è semplice calcolare probabilità
ad essa associate, ed è comunque necessario stimare l’area sotto le code della distribuzione.
1.2.17 Varianza e deviazione standard
De…nizione 16 Sia X una v.a. con valor medio
quadratico medio, di X, il numero reale
…nito. Chiamiamo varianza, o scarto
h
V ar [X] = E (X ) 2i
quando questo è …nito (se è in…nito, diremo che X ha varianza in…nita).