Dispense

20 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Osservazione 9 Nei problemi “bayesiani”, ci sono delle “probabilità a priori”e delle “probabilità
a posteriori”. Nell’esempio, la probabilità a priori che lo studente avesse preparazione scarsa
era 1/3, a poteriori - cioè dopo aver osservato l’esito del test - è 0.773.
Osservazione 10 Accade spesso che le probabilità a priori vengano scelte uguali - 1/3 nell’esempio
- come ri‡esso della mancanza di informazioni.
La formula di Bayes permette di calcolare P (BjA) a partire da P (AjB) (ed altri due
termini). E’interessante la sua struttura logica: se conosciamo come B in‡uenza A, ovvero
conosciamo P (AjB), allora possiamo calcolare come A in‡uenza B. C’è una sorta di inversione
causale. Se immaginiamo che B sia una possibile causa ed A un possibile e¤etto, la
logica normale è quella di conoscere come la causa B in‡uenza l’e¤etto A, quindi conoscere
P (AjB). La formula di Bayes permette di risalire alle cause a partire da osservazioni sui
loro e¤etti. Precisamente, osservato l’e¤etto A, permette di calcolare la probabilità che esso
derivi dalla causa B.
In genere, in questo schema causa-e¤etto, si ha a che fare con diverse possibili cause,
diverse alternative, che formano una partizione B1; :::; Bn. Osservato A, vorremmo risalire
alla causa che lo ha provocato. Tutte le cause Bi possono aver provocato A, quindi ciò che
possiamo fare è calcolare le probabilità delle diverse cause Bi condizionate ad A e decidere
che la causa è quella più probabile (è uno schema di teoria delle decisioni; si veda anche il
Capitolo 6).
In quest’ottica, serve solo confrontare i valori di P (BijA) al variare di i = 1; :::; n. Per
questo scopo non serve calcolare il denominatore P (A) della formula di Bayes, che è uguale
per tutti. Basta quindi confrontare i numeri P (AjBi) P (Bi).
Poi, nel caso molto comune in cui gli eventi Bi siano equiprobabili, basta confrontare
P (AjBi). Si pensi a tutte queste sempli…cazioni sull’alvero degli eventi.
1.1.14 Calcolo combinatorico
Il calcolo combinatorico fornisce idee e regole per calcolare la cardinalità jAj di un insieme
…nito A, cosa essenziale quando di calcola la probabilità di un evento in uno spazio di esiti
equiprobabili.
Ricordiamo il signi…cato di n fattoriale:
n! := n (n 1) 2 1
e convenzionalmente 0! = 1. Più formalmente n! è de…nito per ricorrenza da
1! = 1
n! = n (n 1)! per n 2:
Ricordiamo inoltre il signi…cato dei coe¢ cienti binomiali:
n
k =
n! n (n 1) (n k + 1)
=
k! (n k)! k!