Dispense

320 CAPITOLO 6. STATISTICA MULTIVARIATA
Le righe corrispodono quindi alle unità esaminate negli esperimenti, le colonne alle variabili.
Da una simile tabella, piuttosto complessa, si vorrebbero estrarre informazioni sui legami tra
le variabili. In realtà c’è un altro scopo parallelo, che ora con la tabella diventa evidente:
esaminare le unità, le loro somiglianze, se sono divise in gruppi, ad esempio.
Ora, data una simile matrice, si può calcolare la sua matrice di covarianza o di correlazione,
in R coi comandi
cov(A); cor(A)
dove A è il nome dato alla matrice. Queste matrici sono la versione empirica di quelle
teoriche ricordate sopra. Sono anch’esse matrici p p. Nella matrice cov(A), l’elemento di
posto (i; j) è la covarianza empirica tra i vettori numerici
xi;1 ::: xi;p
xj;1 ::: xj;p
ed è una stima della quantità teorica Cov (Xi; Xj).
La matrice di correlazione empirica cor(A) fornisce immediatamente delle informazioni
sui legami tra le variabili, a due a due, informazioni basate sulle osservazioni sperimentali di
quelle particolari unità. Nella sezione di esercizi useremo continuamente questo comando e
vedremo anche una visualizzazione del risultato.
Per andare oltre, servono nuovi elementi di statistica. Il metodo delle componenti principali
è quello che più immediatamente si a¢ anca al calcolo di cor(A). Esso raggiunge il
duplice scopo di mostrare visivamente i legami tra le variabili, anche un po’ nel senso di
gruppo (cioè non solo a due a due), ed al tempo stesso le relazioni tra le unità esaminate, gli
idividui.
Le relazioni tra le unità vengono approfondite tramite altre strategie, genericamente chiamate
di classi…cazione e clustering, che hanno lo scopo di riconoscere se le unità sono ragionevolmente
suddivisibili in due o più gruppi abbastanza omogenei; ed hanno nche lo scopo
di assegnare a gruppi prestabiliti delle nuove unità. Esamineremo alcuni metodi per questi
scopi.
Tornando ai legami tra variabili, nasce spesso il desiderio di capire se certe variabili
in‡uiscono su altre, scoprire quali sono le variabili che provocano certi e¤etti e quali invece
sono irrilevanti. In linea di massima la statistica non è in grado di dimostrare la presenza
di relazioni causa-e¤etto tra variabili; è in grado di quanti…care il legame che intercorre tra
loro. Ipotizzando una relazione causa-e¤etto, la regressione lineare multipla quanti…ca tale
relazione, scoprendo il valore dei coe¢ cienti di un modello input-output tra le grandezze
in gioco, modello che poi può essere usato per scopi di previsione, ad esempio (ed infatti
torneremo sulla previsione delle serie storiche anche con questo strumento).
In…ne, vedremo che il metodo delle componenti principali scopre nuove variabili, a volte
interpretabili nell’ambito dell’applicazione speci…ca a volte no, che racchiudono la reale variabilità
dei dati più delle v.a. X1; :::; Xp originarie. In un certo senso, le nuove variabili
possono essere pensate come dei predittori di quelle originarie. Su questa falsariga si innesta
il metodo dell’analisi fattoriale, che date delle v.a. osservate X1; :::; Xp cerca di individuarne
di nuove, non osservate, che siano fattori (predittori) di quelle osservate.