Dispense

3.5. ANALISI DI FOURIER DEI PROCESSI STOCASTICI 177
usando un opportuno teorema sullo scambio di serie.
6) Combinando le proprietà precedenti, se g è a valori reali, abbiamo
" # " #
X
X
F f (n + k) g (k) (!) = F f (n k) g ( k) (!) = b f (!) bg ( !) = p 2 b f (!) bg (!) :
k2Z
k2Z
Questa proprietà verrà usata nel calcolo della DTFT della funzione di autocorrelazione.
3.5.4 DTFT generalizzata
In casi particolari si può de…nire la DTFT anche per serie temporali che non soddisfano la
condizione P
n2Z jxnj 2 < 1. Il metodo è usare la de…nizione
bx (!) = lim
N!1 bx2N (!)
se tale limite esiste (in qualche senso ragionevole). Se x 2 l1 il limite esiste uniformemente in
!. Se x 2 l2 il limite esiste in media quadratica. Ci accontenteremo in questo paragrafo che
esista il limite
Z 2
lim
N!1 0
bx2N (!) f (!) d!
per ogni funzione f continua. Con questa nozione molto debole di limite (è una versione
abbreviata del concetto di limite nel senso delle distribuzioni), possiamo de…nire bx anche per
certe x =2 l2.
Consideriamo ad esempio la successione
xn = a sin (!1n) :
Calcoliamo la DFTT della successione troncata:
Ricordando che
bx2N (!) = 1
p 2
quindi che sin (!1n) = ei! 1n e i! 1n 2i , vale
X
jnj N
e i!n a sin (!1n) = 1
2i
X
jnj N
sin t = eit e it
2i
X
jnj N
e i!n a sin (!1n) :
e i(! !1)n 1
2i
X
jnj N
e i(!+!1)n :
Vederemo tra un attimo che questa succesione converge, per N ! 1, nel senso detto sopra.
Siamo costretti, per proseguire, ad usare il concetto di funzione generalizzata, o distribuzione,
che è fuori dagi scopi di questo corso, ma che fa parte del bagaglio almeno intutivo
di alcuni percorsi di studio in ingegeria. Utilizzeremo la funzione generalizzata chamata (t)