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290 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI vale …no a e poi, da c in avanti, e così via, Quindi a0 = 1; a1 = ; a2 = (1 ) (2 ) = ; ::: 2 2 c 1 ac 1 = (c 1)! c 1 ac = ac+1 = ac+2 = c c! c c+1 2 c! c c+1 c+2 c! c2 c+2 c+k ac+k = = c! ck c+k a = = Xc 1 n=0 Xc 1 n=0 n n! n + n 1X k=0 c c! c c c! c n! n + c! c 1 1 Una volta calcolato questo numero (se c è basso, lo si calcola a mano facilmente), la distribuzione invariante è n n = 1 a n! n per n = 0; 1; :::; c 1 n = c+k = 1 c a c! c k c k k : per n c ovvero k 0 (attenzione: nella seconda relazione n e k sono legati dalla formula n = c + k). A parte la formula …nale, va notato che la condizione per la convergenza della serie, e quindi per il raggiungimento del regime stazionario, è < 1 ovvero < c : Il tasso di arrivo può anche superare il tasso di servizio, ma non deve superare il tasso di c serventi simultanei. : 2
5.4. ESEMPI DALLA TEORIA DELLE CODE 291 Figura 5.1: Coda con 3 serventi. 5.4.5 Nascita e morte con un numero …nito di stati Consideriamo la situazione dei processi di nascita e morte ma con stati 0; 1; :::; N. La teoria e le formule …nali sono quasi identiche: infatti abbiamo ricavato tutto partendo iterativamente da k = 0. Però è più semplice il discorso legato all’esistenza del regime stazionario: esiste sempre. La distribuzione invariante esiste sempre. La grandezza a ora è data dalla somma …nita a = NX n=0 che quindi è sempre …nita, per cui si trova sempre an n = an ; n = 0; 1; :::; N: a Tra le piccole varianti notevoli c’è il fatto che possiamo calcolare esplicitamente la probabilità invariante nel caso n;n 1 = ; n;n+1 = : Infatti, ponendo sempre = , vale anche ora an = n e si conosce il valore della seguente somma: NX a = n 1 = 1 N+1 : Quindi in questo caso n=0 n = 1 1 N+1 an; n = 0; 1; :::; N:
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Elementi di Probabilità, Statistic
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iv INDICE 1.2.16 Disuguaglianza di
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vi INDICE 4.2.11 Densità spettrale
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viii INDICE 6.3.7 Loadings, rotazio
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x PREFAZIONE
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2 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO D
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114 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI STATIST
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