Dispense

148 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
In altre parole, (t; s) è 1 per t = s, zero altrimenti (quest’ultima cosa è l’opposto di ciò che
si osserva per una serie con trend).
Altri oggetti (se de…niti) collegati alla struttura temporale sono:
iv) la densità di probabilità congiunta
ft1;:::;tn (x1; :::; xn) ; ; tn ::: t1
del vettore (Xt1 ; :::; Xtn), nel caso continuo, oppure le probabilità marginali
nel caso discreto
v) la desità condizionale
P (Xt1 = x1; :::; Xtn = xn)
ftjs (xjy) = ft;s (x; y)
; t > s
fs (y)
nel caso continuo, oppure le probabilità condizionali
P (Xt = yjXs = x) = P (Xt = y; Xs = x)
; t > s
P (Xs = x)
nel caso discreto. Vedremo ad esempio all’opera quest’ultimo concetto nelle catene di Markov,
in capitolo successivo.
Ora, un’osservazione circa il nome di R (t; s). In Statistica e nella Time Series Analysis, si
usa il nome funzione di autocorrelazione per la funzione (t; s), come abbiamo fatto sopra. Ma
in altre discipline legate al signal processing, questo nome è dato alla funzione R (t; s). Non
ci sono motivi particolari per tale scelta se non il fatto che R (t; s) è la quantità fondamentale
da capire e studiare, mentre le altre (C (t; s) e (t; s)) sono semplici trasformazioni di R (t; s).
Quindi ad R (t; s) viene dato quel nome che maggiormente ricorda il concetto di auto-relazione
tra valori a tempi di¤erenti. Nel seguito useremo entrambi i termini ed a volte, come si fa
nel signal processing, chiameremo (t; s) il coe¢ ciente di autocorrelazione.
L’ultimo oggetto che introduciamo si riferisce a due processi contemporaneamente: (Xn) n 0
ed (Yn) n 0 . E’chiamato:
vi) funzione di mutua-correlazione (cross-correlation function)
CX;Y (t; s) = E [(Xt E [Xt]) (Ys E [Ys])] :
Questa funzione misura la somiglianza tra i due processi traslati nel tempo. Per esempio, può
essere usata col seguente scopo: uno dei due processi, diciamo Y , è noto, le sue realizzazioni
hanno ad esempio una forma per noi nota ed importante, l’altro processo, X, è il processo
meno noto che stiamo esaminando, in cui vorremmo scoprire se ci sono porzioni, …nestre, con
una forma simile a quella di Y . Per esempio, nella trasmissione dei segnali o nella ricezione
radar, Y è una forma nota di riferimento, X è il sganale ricevuto che stiamo esaminando, in
cui vorremmo scoprire se c’è quella forma (nascosta dal rumore e dalla traslazione temporale,
visto che non sappiamo a che istante si manifesti la forma).