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154 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI Proof. Ricordiamo che Sn = T1 + ::: + Tn è una v.a. di Erlang. Nt e la famiglia (Sn) n 0 sono legate dal questa relazione logica: Nt k , Sk+1 > t. Questa darà la chiave di tutto. Dimostriamola mostrando la validità delle due implicazioni separatamente. Se Nt k, ovvero se entro t arrivano al più k chiamate, allora non ne possono arrivare k + 1, quindi la k + 1-esima chiamata arriva dopo il tempo t, quindi Sk+1 > t. Viceversa, se Sk+1 > t, cioè se la k + 1-esima chiamata arriva dopo il tempo t, allora entro il tempo t sono arrivate meno di k + 1 chiamate, quindi al più k, quindi Nt k. Allora P (Nt k) = P (Sk+1 > t) = 1 Gk+1 (t) t = e 1 + t ! ( t)k + ::: + : 1! k! Abbiamo così trovato la funzione di distribuzione di Nt. Vale quindi come volevasi dimostrare. P (Nt = k) = P (Nt k) P (Nt k 1) = e t ( t)k k! Esempio 78 Durante le 8 ore di apertura di un buon negozio di bici, l’intertempo di vendita, cioè il tempo tra due vendite successive, è aleatorio ed ha media pari a 2 ore. Supponiamo che sia distribuito secondo una legge esponenziale. Supponiamo che gli intertempi tra le vendite successive della singola giornata siano indipendenti. Calcoliamo alcune cose di interesse. La probabilità che nella singola giornata non si abbia nessuna vendita è P (T > 8) = e 1 2 8 = 0:018: Abbiamo indicato con T il tempo tra una vendita e l’altra; il suo parametro è = 1 1 = E [T ] 2 (misurando il tempo in ore). La probabilità che in un giorno si e¤ettuino almeno 3 vendite è P (N8 3) = 1 P (N8 < 3) = 1 = 1 2X k=0 e 1 1 k 8 2 28 k! 2X P (N8 = k) k=0 = 0: 7619: dove N8 indica il numero di vendite in 8 ore; abbiamo usato il teorema di legame con le v.a. di Poisson.
3.1. PROCESSI A TEMPO DISCRETO 155 Il numero medio di bici vendute in un giorno è E [N8] = 1 8 = 4: 2 Almeno questo si poteva immaginare anche senza la teoria. A prima vista l’enunciato può essere di non facile lettura o interpretazione. Ra¢ guriamolo. Generiamo 10 numeri esponenziali di parametro = 1=2, indicati con T, e cumuliamoli in S: T
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Elementi di Probabilità, Statistic
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