Dispense

132 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI STATISTICA
può cadere nelle code, solo che ciò è molto improbabile. C’è quindi una piccola probabilità di
ri…utare H0 quando invece è valida (ciò avviene quando il campione che produce z, pur essendo
in perfetto accordo con l’ipotesi, è un campione un po’anomalo, cosa rara ma possibile per
puro caso).
Il primo errore possibile, quindi, nella teoria dei test è la possibilità di ri…utare H0 quando
invece è vera. Viene detto errore di prima specie. La sua probabilità è :
= P (errore di prima specie)
= P (ri…utare H0 quando è vera) :
Il numero è anche chiamato signi…catività del test. Il suo valore viene di solito paragonato
a 0.05: se lo si pre…ssa, lo si prende pari o minore a 0.05; se lo si calcola a posteriori dev’essere
0:05. (A volte è più spontaneo dire che la signi…catività è 95%, invece che 5%, che pur
essendo la frase canonica, è però un po’opposta al senso comune).
Osservazione 44 Nella teoria delle decisioni si calcolano invece due probabilità di errore
simmetriche tra loro.
Esiste poi un secondo errore che si può commettere facendo un test. Può accadere che sia
valida l’ipotesi alternativa H1 ma il test non se ne accorge, non trova nulla di contraddittorio
nel campione rispetto ad H0. In pratica questo è possibilissimo: si pensi al solito esempio, si
supponga che la media vera sia un poco diversa da quella ipotizzata da H0, ma non troppo
diversa; se estraiamo un campione sperimentale, questo non sarà così diverso da un generico
campione estratto secondo H0; come può z cadere nelle code relative al 5% di probabilità?
L’errore che si commette quando non si ri…uta H0 mentre era falsa, viene detto errore di
seconda specie.
La sua probabilità però non è ben de…nita, perché non lo è la densità sotto l’ipotesi troppo
generica H1. Bisogna speci…care meglio H1, cioè formulare delle ipotesi alternative H0 1 più
speci…che, che identi…chino una sola densità, da cui sia calcolabile la probabilità dell’errore
di seconda specie. Le ipotesi H0 1 saranno descritte da un parametro d, ad esempio
d =
p n
nel caso in cui 0 sia la media dell’ipotesi H0 mentre sia la media dell’ipotesi H0 1 . Se
indichiamo con la probabilità dell’errore di seconda specie, esso sarà funzione di d:
dove H d 1
(d) = P (errore di seconda specie relativo a d)
= P non riconoscere che vale H d 1
è l’ipotesi alternativa ditipo speci…co con parametro d.
La quantità
1 (d)
è detta potenza del test, relativa alla particolare ipotesi alternativa H d 1 . Come complementare
dell’altra, il suo signi…cato è quello di probabilità di accorgersi che H0 è falsa, quando lo è
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