Dispense

214 CAPITOLO 4. ANALISI E PREVISIONE DI SERIE STORICHE
e vediamole come equazioni, lineari, nelle incognite b1; b2; :::; bp. Risolvendole si trovano
questi coe¢ cienti, cioè un modello AR empirico
1
pX
k=1
bkL k
!
Xt = "t:
Questo metodo funziona in ipotesi di stazionarietà del processo. Vedremo nei paragra…pratici
sull’uso del software che viene proposto un metodo alternativo (comando ar.ols, ols =
ordinary least squares) basato sull’idea universale di …ttare un modello ai dati tramite minimi
quadrati (si minimizza, al variare dei parametri incogniti del modello, la somma dei quadrati
dei residui, cioè degli scarti tra i valori sperimentali veri e quelli forniti dal modello). Il metodo
dei minimi quadrati non richiede alcuna ipotesi di stazionarietà, quindi è più ‡essibile. Però
è meno improntato all’idea di struttura. Se vale la stazionarietà, la ricerca dei coe¢ cienti
tramite le equazioni di Yule-Walker appare più strutturale, meno soggetto alle ‡uttuazioni
dovute ai valori particolari dell’esperimento (anche se una quanti…cazione precisa di queste
frasi è molto di¢ cile, per cui vanno prese come indicazione di principio, che può essere
disattesa in moti esempi). Certamente, se ad esempio si usano entrambi i metodi (nel caso
stazionario) ed i valori trovati per i coe¢ cieti sono simili, questa è una bella indicazione di
bontà del modello.
4.2.10 Funzione di autocorrelazione, complementi
Continuiamo ad assumere di esaminare un processo ARMA stazionario a media nulla, sotto
le ipotesi (4.5), per cui in particolare vale
Xt =
1X
'iL i "t:
i=0
Quindi possiamo calcolare E Xt j 1 + P q
k=1 kL k "t anche per j q, il caso non trattato
nella Proposizione 25.
Proposizione 26 Sotto le ipotesiprecedenti, per ogni j = 0; :::; q vale
R (j)
pX
k=1
Quindi, per ogni j 0 possiamo scrivere
R (j)
pX
k=1
X
kR (j k) =
kR (j k) =
1X
i=0
q j
'i i+j
2
:
i=0
' i i+j 2 1i+j2f0;:::;qg: