Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 31
Osservazione 14 Il legame simbolico tra il parametro delle v.a. esponenziali e quello delle
Poisson non è casuale. Vedremo più avanti un legame anche tra queste due classi, particolarmente
interessante in quanto lega v.a. continue a v.a. discrete, e non attraverso operazioni
limite, bensì operazioni logiche …nite.
Esempio 23 Una v.a. geometrica di parametro p, con p 2 (0; 1), è una v.a. X che assume
tutti i valori interi non negativi con probabilità data dalla formula
P (X = k) = (1 p) k p
per ogni k 2 N (questa è la densità geometrica, introdotta precedentemente). Queste v.a.
sono un po’ l’analogo nel discreto delle v.a. esponenziali. Non tracciamo la loro densità di
massa, che si può facilmente immaginare per analogia con le v.a. esponenziali.
Esempio 24 Per certe applicazioni è utile introdurre la cosidetta v.a. geometrica modi…cata
(spesso chiamata anch’essa semplicemente v.a. geometrica). Una v.a. geometrica modi…cata
di parametro p è una v.a. che assume i valori interi positivi k = 1; 2; ::: con probabilità
P (X = k) = (1 p) k 1 p:
1.2.4 De…nizione di variabile aleatoria
Fino ad ora, per v.a. abbiamo inteso intuitivamente ogni grandezza casuale che incontriamo
in qualche applicazione pratica. Se però ci sforziamo, di fronte ad un problema concreto, di
costruire esplicitamente , vediamo che le grandezze aleatorie si possono vedere come funzioni
de…nite sul dominio a valori reali.
Esempio 25 Consideriamo n v.a. di Bernoulli di parametro p. Ad esempio, potremmo
essere interessati allo studio di una banca avente n correntisti (es. 100), ciascuno dei quali, in
una giornata generica, si presenta con probabilità p (es. 1
5 ) per ritirare del denaro. Associamo
ad ogni correntista una v.a. di Bernoulli che vale 1 se il correntista si presenta per ritirare
denaro, 0 altrimenti. Abbiamo quindi n v.a. di Bernoulli, X1 per il correntista numero 1,
ecc. …no a Xn per il correntista numero 100. Il numero di richieste (in un dato giorno) è
dato allora da
Sn = X1 + ::: + Xn
in quanto ogni richiesta contribuisce con un 1 in questa somma, mentre le mancate richeste
contribuiscono con 0.
Introduciamo lo spazio dei possibili esiti. Un esito ! in questo problema corrisponde
a sapere, per ogni correntista, se si è presentato o meno. Quindi, un esito è una stringa
! = (!1; :::; !n) in cui !1 vale 1 se il primo correntista si è presentato, zero altrimenti, e così
via per gli altri !i. è l’insieme di tutte queste sequenze.
De…nito , ad ogni esito ! possiamo associare diverse grandezze: ad esempio la grandezza
X1 (!) = !1