Dispense

10 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Abbiamo così de…nito una funzione P : dall’algebra F 0 dei pluri-intervalli a valori reali.
Siccome f 0, vale P (A) 0. Siccome A R, vale R
R
A f (x) dx R f (x) dx e quindi
P (A) 1. Pertanto è vero che
P : F 0 ! [0; 1] :
Ovviamente vale P ( ) = 1. Con ragionamenti elementari ma noiosi da scrivere, sei veri…ca
che P è …nitamente additiva, cioè vale (1.1) se i pluri-intervalli Ai sono a due a due disgiunti.
In questo modo abbiamo de…nito una P : F 0 ! [0; 1] …nitamente additiva. Usando la teoria
dell’integrazione secondo Lebesgue, si può estendere P ad una probabilità sulla -algebra F
dei boreliani. Questa estensione però esula dal nostro corso (qualche elemento si può vedere
alla sezione 1.2.22).
Esempio 3 Dati due numeri reali C; , chiediamoci quando la funzione
f(x) = Ce x per x 0
0 per x < 0
è una densità di probabilità. Dovendo essere f 0, dev’essere C 0. L’integrale non può
essere …nito se = 0 o ancor perggio se < 0 (in entrambi i casi la funzione non tende a
zero per x ! 1 ed anzi è maggiore di una costante positiva, se C > 0) quindi esaminiamo
solo il caso > 0. Vale
Z +1
1
f (x) dx =
Z 1
0
Ce
x dx = C
Z 1
0
d e x
dx = C
dx
e x 1
=
0
C
dove l’interpretazione del calcolo di e x per x = +1 è quella di limite
lim
x!+1 e
x = 0:
Quindi l’integrale è …nito per ogni > 0 e la funzione è una densità se C = . La densità
così trovata si chiama densità esponenziale di parametro .
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 1 2 3 4
Densità esponenziale, x 0, = 1
x