Dispense

6.4. METODI DI CLASSIFICAZIONE E CLUSTERING 357
6.4.6 Clustering
Le tecniche di classi…cazione appena descritte partono dall’esistenza di classi prestabilite e si
pongono il problema di assegnare nuovi individui alle classi (classi…care nuovi individui). Essi
però inglobano già una sorta di clustering, nella fase di creazione delle classi. Ad esempio,
nella regressione logistica, gli individui di cui è noto tutto (valore delle variabili che fungono
da predittori, e della variabile di classe, cioè 0 o 1) vengono usati per determinare il modello (i
coe¢ cienti della parte lineare regressiva), che poi verrà usato per classi…care nuovi individui di
cui siano noti solo i valori dei predittori. Ma la creazione del modello in pratica è la creazione
di due classi che separano il meglio possibile gli individui noti, quindi è un’operazione di
clustering. C’è però una di¤erenza concettuale ripetto al clustering che stiamo per descrivere:
nel creare un modello di regressione logistica, quindi nel creare due classi, si usano individui
di cui è noto il valore della classe (0 o 1). Invece, nei metodi che descriveremo ora, a priori
nulla distingue gli individui in classi. Si immagina però che essi possano essere membri di
classi di¤erenti; allora il metodo dovrà identi…care le classi e attribuire ad esse gli individui;
in…ne, il metodo dovrebbe fornire un giudizio sull’appartenenza di un individuo ad una classe,
cioè dovrebbe dare una dichiarazione di quanto è sicura la sua classi…cazione, oppure è vaga.
Si pensi ad un insieme W di punti Q del piano (Q 2 W ), sparpagliati, ciascuno rappresentante
un individuo (descritto quindi da due variabili, due predittori). Ci saranno casi
in cui i punti sono un po’separati in due gruppi, o più di due gruppi, pur essendo vaga la
separazione. Si pensi alle case di due città limitrofe in zone molto abitate: si va da una città
all’altra quasi senza soluzione di continuità, però il grado di addensamento è diverso nelle due
zone proprie delle città rispetto alla parte intermedia, dove c’è ancora un po’di campagna
qua e là. Abbiamo quindi questo insieme di punti. Ipotizziamo che esso sia suddividibile in
due classi (il caso con tre o più classi è simile, ma torneremo su questo punto). Vediamo
alcune idde generali per trovare una buona suddivisione.
Alcune idee dei paragra… precedenti sarebbero perfettamente adatte: cercare una retta, o
una parabola (linear o quadratic discriminant analysis) che separa bene l’insieme dei punti.
Sviluppiamo altre idee.
Immaginiamo che le due classi siano come due nuvole un po’ellittiche, pur con vaghezza
(magari senza una vera soluzione di continuità tra le nuvole). Iniziamo col cercare i centri
delle nuvole. Avendo deciso che sono due, si cercano due centri, M1 e M2 (qui entra in gioco il
numero di classi deciso a priori: se avessimo deciso di dividere in tre classi, avremmo cercato
tre centri). Si inizi mettendo a caso due punti M1 e M2 nel piano, in assenza di suggerimenti
migliori (se invece c’è un’idea migliore la si usi). Poi si trovino gli insiemi di Voronoi di
questi due punti, che chiamiamo V1 e V2: Vi è l’insieme dei punti del piano che distano da
Mi meno che dall’altro centro. Sono due semipiani. Se partivamo da tre centri M1; M2; M3
trovavamo una divisione in tre “angoli”, e così via. Poi, chiamiamo W1 e W2 gli insiemi dei
punti originari che cadono in V1 e V2 rispettivamente: Wi è l’insieme dei punti Q 2 W che
appartengono a Vi, quindi che distano da Mi meno che dall’altro centro. Questa è già una
suddivisione possibile, però relativa ad una scelta iniziale dei centri, fatta a caso o comunque
non ancora ottimizzata in alcun modo.
Diamo un punteggio alla suddivisione trovata: calcoliamo la somma delle distanze al