Dispense

62 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Esempio 48 Più in generale, una v.a. X N ; 2 ha funzione generatrice
' X (t) = e t + 2 t 2
2 :
Infatti, con gli stessi calcoli fatti nel caso standard ma più laboriosi,
E e tX = 1 p
2
Z
e tx (x )2
e 2 2 dx
= 1 p 2
Z
= e 2 t 2
2 +t
p 2
e (t 2 + ) 2 2
2 2 e
Z
x 2 2( 2 t+ )x+(t 2 + ) 2
e (x t 2 ) 2
2 2 dx = e t + 2 t 2
2 :
2 2 dx
Il motivo del nome “generatrice dei momenti” sta nel fatto che derivando la funzione
generatrice e calcolando le derivate in zero si ottengono i momenti.
Teorema 13 Se la funzione generatrice ' X (t) è de…nita in un intervallo aperto non vuoto
contenente l’origine allora è in…nite volte derivabile in zero e vale
' (n)
X (0) = E [Xn ] :
Non diamo la dimostrazione completa che fa uso di teoremi di scambio tra derivate e
integrali che non trattiamo nel corso, ma riportiamo solo formalmente i seguenti passaggi
(naturali ed in realtà anche rigorosi)
e così via, per cui
d
dt E etX = E d
dt etX = E Xe tX
d 2
dt 2 E etX = E d2
dt 2 etX = E X 2 e tX
' 0 X (0) = E [X]
' 00 X (0) = E X 2
e così via. Con queste regole si possono ritrovare numerosi valori medi calcolati …no ad ora.
Vediamo a titolo di esempio il caso delle geometriche, che era risultato piuttosto di¢ cile.
Esempio 49 Ricordiamo che chiamiamo geometrica di parametro p una v.a. tale che
Allora
' X (t) =
P (X = n) = (1 p) n p per n = 0; 1; :::
1X
n=0
e tn (1 p) n p = p
1X
n=0
(1 p) e t n =
p
1 (1 p) e t