Dispense

100 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
e de…nita non-negativa:
x T Qx =
nX
i;j=1
Qijxixj =
0
nX
= Cov @ xiXi;
i=1
nX
Cov (Xi; Xj) xixj =
i;j=1
nX
j=1
xjXj
1
A = V ar [W ]
nX
Cov (xiXi; xjXj)
dove W = Pn i=1 xiXi.
Il teorema spettrale a¤erma che ogni matrice simmetrica Q può essere diagonalizzata, nel
senso che esiste una base ortonormale e1; :::; en di Rn in cui Q assume la forma
Qe =
0
@ 1 0 0
0 ::: 0
0 0 n
Inoltre, i numeri i sulla diagonale sono gli autovalori di Q ed i vettori ei sono i corrispondenti
autovettori. Dal punto di vista algebrico, quanto detto signi…ca che esiste una matrice
ortogonale U ed una matrice diagonale Qe tali che
Q = UQeU T :
Inoltre, U ha come colonne una base ortonormale di autovettori ei corrispondenti ai i:
U = (e1; :::; en) :
Esercizio 16 Veri…care che, se U = (e1; :::; en), Qe è come sopra e Q = UQeU T , allora
Qe1 = 1e1 (lo stesso vale per gli altri autovettori).
Soluzione. Detto u1 il vettore 1 0 ::: 0 T , vale Qe1 = UQeU T e1 = UQeu1, in quanto
nei prodotti riga per colonna di U T e1 si devono fare i prodotti scalari degli ei con e1, tutti zero tranne
il primo. Quindi Qe1 = UQeu1 = 1Uu1 = 1e1.
Siccome una matrice di covarianza Q è anche de…nita non-negativa, vale
1
A :
i 0; i = 1; :::; n:
Usando entrambi questi fatti si può de…nire la radice quadrata di Q, cioè una matrice
simmetrica che indicheremo con p Q, tale che p Q 2 = Q. Infatti, in primo luogo possiamo
de…nire facilmente la radice quadrata di Qe, ponendo
0
p
Qe = @
p 1 0 0
0 ::: 0
0 0 p n
Si vede subito che questa è simmetrica ed il suo quadrato è Qe. Tramite questa matrice,
“tornando indietro”, possiamo de…nire
p Q := U p QeU T :
1
A :
i;j=1