Dispense

30 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Proof. Fissato k 2 N, vale
n
k pk n (1 pn) n k =
ed ora basta osservare che per n ! 1
n
= 1;
n
=
n (n 1) (n k + 1)
k!
k
k!
n 1
n
(e sono un numero …nito e …ssato k di termini),
mentre per un noto limite notevole
n
n
(1 pn) k = 1
(1 pn) n = 1
n 1
n
n k + 1
n
! 1; :::; n k + 1
n
n
n
k
n
! 1 k = 1
! e :
k
nk (1 pn) n
(1 pn) k
! 1
(1 pn) n
(1 pn) k
Mettendo insieme tutti questi limiti ed usando i teoremi sul limite di prodotto e rapporto di
successioni, si ottiene il risultato desiderato.
A titolo di esempio, consideriamo una v.a. P (2). Essa è limite di B (n; p) con np = 2. I
valori
n = 10; p = 0:2
sono ancora ben lontani intuitivamente da ciò che pensiamo essere il limite per n grande.
Eppure i primi valori, per k = 0; 1; :::; 10 della P (2) sono 0:135, 0:270, 0:270, 0:180, 0:090,
0:036, 0:012, 0:003, 8: 5 10 4 , 1: 9 10 4 , 3: 8 10 5 , che non si scostano molto da quelli
riportati sopra per una B (10; 0:2). Il gra…co è riportato in …gura. Qualche lieve di¤erenza è
ancora apprezzabile e fa capire intuitivamente alcune di¤erenze di forma tra le due densità
di massa.
hist(rpois(10000,2)+0.01)
Densità di massa di una P (2)