Dispense

48 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
1.2.13 Media di v.a. indipendenti
Teorema 10 Se due v.a. X e Y sono indipendenti, il valor medio del prodotto è uguale al
prodotto dei valori medi, cioè
E[XY ] = E[X] E[Y ]:
Per essere precisi a livello rigorso, assumendo semplicemente che X e Y abbiano valor
medio …nito, si trova dalla dimostrazione stessa che la v.a. XY ha anch’essa valor medio
…nito.
Osservazione 19 Questa proprietà non ha simili tra i fatti elementari sugli integrali di
funzioni di una variabile. Esiste invece una proprità che la ricorda nell’ambito degli integrali
doppi: per la formula di riduzione, se f(x; y) = g(x) h(y), vale
Z Z
Z Z
f(x; y)dxdy = g(x)dx h(y)dy:
A B
A
B
Una possibile dimostrazione rigorosa del teorema poggia proprio su questa proprietà, ma per
completare la dimostrazione bisognerebbe capire come fare a passare da E[XY ] a un integrale
doppio.
Osservazione 20 Il teorema inverso è falso: E[XY ] = E[X] E[Y ] non implica che X e Y
sono indipendenti. Lo si può intuire dall’osservazione precedente: l’indipendenza equivale alla
proprietà che la densità congiunta è il prodotto delle marginali, mentre l’uguaglianza integrale
espressa da E[XY ] = E[X] E[Y ] è solo una uguaglianza tra particolari integrali (riassunti)
di tali densità.
Osservazione 21 Più avanti nel corso vedremo il concetto di vettore gaussiano. In quel
momento potremo mostrare che se il vettore (X; Y ) è gaussiano, allora la proprietà E[XY ] =
E[X] E[Y ] implica che X e Y sono indipendenti.
Osservazione 22 Dimostriamo la proprietà E[XY ] = E[X] E[Y ] nel caso di v.a. discrete,
usando le notazioni ed alcuni fatti che si trovano nell’osservazione 17. Vale
Per l’indipendenza,
Quindi
E [XY ] = X
xiyjP (X = xi; Y = yj) :
ij
P (X = xi; Y = yj) = P (X = xi) P (Y = yj) :
E [XY ] = X
xiyjP (X = xi) P (Y = yj) = X
xiP (X = xi) X
yjP (Y = yj)
ij
= E[X] E[Y ]:
i
j