Dispense

104 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
dove A è una matrice e b è un vettore. Se X ha dimensione n, richiediamo che A sia d n
(cioè A : R d ! R n ) e b abbia dimensione n (ma n può essere diverso da d).
Il gra…co della densità normale standard in 2 dimensioni è stato tracciato nel paragrafo
1.2.8. Il gra…co delle altre densità gaussiane può essere immaginato eseguendo trasformazioni
lineari del piano base xy (deformazioni de…nite da A) e traslazioni (di b). Per esempio, se
A =
2 0
0 1
matrice che ampli…ca l’asse x di un fattore 2, otteniamo il seguente gra…co:
­4
­2
4
z
0.00
0 0
y
0.10
0.05
2
Tuttavia questo tipo di gra…co è poco interpretabile, salvo casi facili come quello invariante
per rotazione o quello appena disegnato; grazie alle ombreggiature riusciamo ad intuire
qualcosa, ma con poca precisione.
Le curve di livello, cioè le curve nello spazio R k de…nite dalle equazioni f (x) = a al variare
di a > 0, dove f è la densità congiunta di X, sono un modo più e¢ cace, a cui siamo abituati
da sempre se pensiamo alle cartine geogra…che; esso però richiede la conoscenza di f, che
preferiamo non usare in questa speci…ca argomentazione basata sulla de…nizione 30; quando
più tardi avremo la densità, vedremo che le curve di livello sono ellissi concentriche, di centro
, indipendentemente da A.
Un altro modo di visualizzare un vettore aleatorio X è di ra¢ gurare un suo campione
sperimentale, numeroso: è di nuovo una ra¢ gurazione nello spazio R k , lo spazio dei valori
possibili di X; se i punti sono molti, si riesce ad intuire la struttura delle curve di livello.
Tornando alla de…nizione 30, un modo di avere un campione di numerosità N da X è quello
di averlo da Z e trasformarlo. Iniziamo allora osservando che un campione di numerosità
N = 1000 (per fare un esempio) estratto da Z in dimensione n = 2 si ottiene e ra¢ gura coi
comandi
Z1