Dispense

140 CAPITOLO 2. ELEMENTI DI STATISTICA
2.3.9 Test di “adattamento”
Con questo termine si intendono i test che cercano di capire se va ri…utata un’ipotesi sulla
distribuzione di probabilità di una v.a., invece che sul solo valor medio o sulla varianza.
L’ipotesi nulla potrebbe ad esempio avere la forma: la v.a. è N (3; 5). Avendo un campione
sperimentale che forse proviene da tale distribuzione o forse no, si esegue un test per capire la
compatibilità tra campione e densità ipotizzata. Nel test per la media, invece, la gaussianità
non veniva messa in dubbio, e neppure la varianza, ma solo la media era in discussione. Ora
invece è l’intera densità N (3; 5) che viene messa in discussione.
Illustriamo un po’ in dettaglio il test chi-quadro, per il quale servono alcune premesse
sulle distribuzioni chi-quadro; al termine accenneremo al test di Kolmogorov-Smirnov.
Distribuzione chi-quadro a k gradi di libertà
De…nizione 37 Date delle v.a. Z1; :::; Zk gaussiane standard indipendenti, la v.a.
è detta chi-quadro a k gradi di libertà.
Si può dimostrare che:
X (k) := Z 2 1 + ::: + Z 2 k
Teorema 23 La densità di probabilità di una v.a. chi-quadro a k gradi di libertà è
f (x) = Cx k
2 1 exp
x
2
per x > 0
e zero per x < 0; C 1 = 2 k=2 (k=2). Quindi è un caso particolare di densità Gamma, con
y
60
40
20
shape = k
; scale = 2:
2
0
0 10 20 30
Chi quadro per k = 10
Dalle regole per media e varianza abbiamo
h
E X (k)i
= kE Z 2 1 = k
h
V ar X (k)i
= kV ar Z 2 1 = k E Z 4 1 E Z 2 1
2
= 2k
x