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6.2. IL METODO DELLE COMPONENTI PRINCIPALI 329
esempio, osserviamo la …gura con davanti i dati visualizzati col comando pca$loadings. E
ragionevole associare Comp:1 alle tre variabili SC, SA.SC e TD, in quanto ha componenti
maggiori in tali direzioni (circa 0.5, in valore assoluto, contro i circa 0.3 nelle altre direzioni).
Allo stesso modo, ha senso associare Comp:2 a PLIC e TMI (0.4 e 0.8 contro 0.2 e 0.3). Una
possibile interpretazione delle prime due componenti principali, cioè delle nuove variabili
aleatorie, potrebbe quindi essere quella dove la prima descrive il benessere di topo economico
e la seconda quello relativo alla salute.
Per quanti…care le osservazioni fatte sulla correlazione (positiva o negativa) o meno tra
gli indicatori di partenza, è importante osservare direttamente la matrice di correlazione delle
variabili di partenza, tramite il comando:
cor(A)
Nell’esempio sugli indicatori di benessere, possiamo così veri…care quantoavevamo già
stabilito: la forte correlazione (con il giusto segno) tra SC, SA.SC e TD, l’assenza di legame
tra PLIC e SC e TD, la correlazione negativa ma non troppo marcata tra PLIC e TMI, e via
dicendo. Notiamo, rispetto a quanto gi a detto basandoci sulla …gura, la correlazione (anche
se non forte) di TMI non solo con PLIC, ma quasi allo stesso modo anche con le tre variabili
economiche, negativa o positiva nel modo che ci aspettiamo. Una rappresentazione gra…ca si
ottiene col comando
plot(A)
che mostra, per ciascuna coppia di variabili, il gra…co di dispersione dei dati, altro strumento
da cui si puà intuire la presenza di legame o meno tra le variabili aleatorie. Ad
esempio, tornando agli indicatori di benessere, se si esegue questo comando si nota la visualizzazione
gra…ca del legame tra TD e SA.SC da un lato, e dell’assenza di legame tra PLIC e
SC dall’altro.
Con il comando:
pca$loadings
compare una tabella in cui è possibile vedere le coordinate di ogni vettore della nuova base
rispetto alla vecchia base (leggendo la tabella colonna per colonna) e le coordinate dei vettori
della vecchia base rispetto alla nuova base (leggendo la tabella riga per riga). Questi numeri,
i loadings, contengono potenzialmente molto signi…cato, su cui torneremo più di¤usamente
nell’ambito dell’Analisi Fattoriale. Se sono grandi, indicano che una variabile pesa molto
sull’altra e questo può contribuire all’interpretazione delle componenti principali. Tuttavia,
la …gura ottenuta con biplot(pca) già fornisce questo tipo di informazioni in modo più
immediato. Per questo i loadings sono più essenziali nel caso dell’Analisi Fattoriale, in cui
non ci sono ra¢ gurazioni così espressive.
È inoltre possibile vedere le deviazioni standard delle nuove variabili aleatorie, cioè le
radici quadrate degli autovalori di A, semplicemente digitando
pca
6.2.3 Classi…che tramite PCA
Dato un punto sperimentale, ad esempio la regione Toscana, espresso nelle coordinate X, la
sua proiezione su e1 rappresenta la sua prima coordinata nella nuova base, e così per le altre