Dispense

1.1. EVENTI E LORO PROBABILITÀ 9
ora è solo un vago contenitore di idee astratte. Queste regole generali (insieme ad altre che
vedremo relative al concetto di probabilità condizionale e indipendenza) servono di solito a
calcolare la probbilità di certi eventi a partire da quella di altri; ma da qualche parte bisogna
introdurre informazioni speci…che di ciascun esempio, da cui partire.
Osservazione 1 Se F 0 è solo un’algebra e P : F 0 ! [0; 1] soddisfa P ( ) = 1 e
P
n[
i=1
Ai
!
=
nX
P (Ai) (1.1)
quando gli insiemi Ai 2 F 0 sono a due a due disgiunti, allora diciamo che P è una probabilità
…nitamente additiva.
i=1
1.1.8 Probabilità associata ad una densità
De…nizione 6 Si chiama densità di probabilità (che abbrevieremo con pdf, dall’inglese) ogni
funzione f : R ! R avente le seguenti due proprietà:
f (x) 0 per ogni x
Z +1
1
f (x) dx = 1:
L’integrale ora scritto è un integrale improprio. Ricordiamo che nel caso di funzioni
positive, un integrale improprio può solo convergere o divergere a +1. Per una densità
esso deve convergere (cosa non ovvia) ed avere convenzionalmente valore 1. Supponiamo per
semplicità che f sia Riemann integrabile su ogni intervallo limitato, essendo questa la teoria
usualmente appresa nei corsi di Ingegnera. Si ricordi che le funzioni continue, o anche solo
continue a tratti, sono Riemann integrabili, e tali sarano tutti i nostri esempi.
De…nizione 7 Data una pdf f, dato un intervallo A o più in generale un insieme A che sia
unione …nita di intervalli, poniamo
Z
P (A) = f (x) dx:
Ad esempio
P ([10; 1)) =
A
Z +1
10
f (x) dx: