Dispense

34 CAPITOLO 1. ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
mentre se X è una v.a. discreta sui numeri interi non negativi, con densità di massa p(k),
allora
X (A) = X
p (k) :
Anzi, data una misura di probabilità sui boreliani di R, anche a priori non associata ad
una v.a. X, diremo che è continua se esiste una densità f(x) per cui valga la prima formula
precedente, discreta se vale la seconda. Ma esistono interessanti misure X (associate ad
altrettante v.a. X) che non sono né continue né discrete: miste nei casi più semplici, oppure
del tutto inedite come le misure frattali.
Quando diremo che certe v.a. sono equidistribuite o identicamente distribuite (dette anche
isonome), intenderemo che abbiano la stessa legge. Ad esempio, tutte esponenziali di
parametro 3. Questo non signi…ca che siano uguali, in quanto funzioni da in R. Pensiamo
ai due risultati dei lanci di due dati. Descriviamo il primo con una v.a. X1, il secondo con
X2. queste due v.a. hanno la stessa legge , che è una probabilità discreta sui numeri da 1 a
6, uniforme. Ma non sono la stessa v.a. Intuitivamente è chiaro, in quanto non corrispondono
allo stesso esperimento. Matematicamente la di¤erenza si apprezza se si introduce esplicitamente
lo spazio delle coppie (x; y) dei possibili risultati. Vale X1 (x; y) = x, X2 (x; y) = y,
quindi sono due diverse funzioni.
k2A
1.2.6 Funzione di distribuzione (cdf) di una v.a.
Data una v.a. X, si chiama funzione di distribuzione (o di ripartizione) la funzione x 7! F (x)
de…nita da
F (x) = P (X x) .
Nel linguaggio ingegneristico si sottolinea che è la cumulativa: funzione di distribuzione
cumulativa, abbreviata (seguendo il nome inglese) in cdf. Essa è una funzione da R in [0; 1],
è crescente (in senso debole), soddisfa
è continua a destra in ogni punto:
lim F (x) = 0, lim F (x) = 1;
x! 1 x!+1
lim
x!x +
0
F (x) = F (x0) 8x0 2 R:
La veri…ca di queste proprietà è facile ma richiede un po’di lavoro a partire dalla numerabile
additività di . La probabilità degli intervalli è legata agli incrementi di F :
F (b) F (a) = P (X 2 (a; b]) , 8a < b 2 R: