Dispense

292 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI
5.4.6 Valori medi notevoli
Consideriamo un processo di nascita e morte. Pensiamo ad esempio ad una coda, per avere
un linguaggio più immediato. Ci chiediamo: qual’è, all’equilibrio, il numero medio di utenti
nel sistema? Questa è sicuramente una delle principali grandezze che desideriamo conoscere
(il gestore del servizio ragionerà sulla bontà del suo sistema di servizio in base a numeri di
questo tipo).
Detto N il numero aleatorio di utenti nel sistema, all’equilibrio, vale per de…nizione di
valor medio
1X
E [N] = n n
in quanto n è proprio P (N = n). In generale non ci sono formule esplicite. Vediamo però
alcuni esempi.
Numero medio di utenti, tassi costanti
Nel caso
essendo
vale
Abbiamo usato il seguente fatto:
1X
n n =
n=0
n=0
n;n 1 = ; n;n+1 =
E [N] = (1 )
= d
d
1X
n=1
n = (1 ) n
1X
n n =
(1 )
n=0
n n 1 = d
d
1
1
1X
n=1
= (1 ) 2 :
n = d
d
Per inciso, la formula E [N] = (1 ) è la media di una v.a. geometrica di parametro .
Numero medio di utenti, in…niti serventi
Se
vale
n;n 1 = n ; n;n+1 =
n = e
n
n!
1X
n=0
n