Dispense

308 CAPITOLO 5. SISTEMI MARKOVIANI
In altre parole, la funzione e t è proprio uguale all’autocorrelazione (in questo semplicissimo
modello lineare). Da qui, ad esempio calcolando l’autocorrelazione sperimentale al tempo
t = 1, si stima , o grossolanamente ad occhio, o con la formula
= lim
t!1
log (xt; x0)
:
t
Si noti che bisogna fare molta attenzione alla scala temporale vera nel calcolo dell’autocorrelazione
sperimentale.
Un’ultima osservazione: se l’equazione di¤erenziale fosse stata più complessa (non lineare),
non avremmo potuto calcolare (xt; x0). Allora è su¢ ciente simulare con R l’equazione
di¤erenziale calcolando l’acf e cercando (anche solo per tentativi) dei valori dei parametri che
forniscono una acf simile a quella sperimentale.
5.7.3 Applicazione inversa
Supponiamo di avere una serie storica sperimentale x1; x2; :::, stazionaria, e di volerla descrivere
tramite un modello dinamico del tipo visto sopra:
dx(t) = b (x (t)) dt + (x (t)) dB(t):
Dalle serie storiche possiamo ricavare due classi di informazioni:
l’autocorrelazione sperimentale (acf)
la funzione di distribuzione cumulativa empirica (ecdf).
Chiamiamo F (x) una funzione che corrisponda alla ecdf: ad esempio, dopo aver esaminato
la ecdf possiamo aver scelto un modello Weibull, gaussiano ecc., che chiamiamo F (x). Sia
f(x) la densità corrispondente: f(x) = F 0 (x).
Poniamo
1
Z 2 Z x
exp 2
(x) 0
b (t)
2 (t) dt = f(x):
Nel senso: f è assegnata, b e sono incognite. Risparmiando i calcoli, che si possono
ricostruire con un po’di pazienza, si trova la seguente equazione, nelle incognite b e 2 :
dove abbiamo posto
2b (x) = d
dx
2 (x) + (x) 2 (x) :
(x) = d
log f (x) :
dx