Dispense

6.5. ESERCIZI 359
Descriviamo la silhouette secondo una delle sue possibili de…nizioni. La silhouette di un
singolo individuo Q 2 W , relativa alla partizione W1; :::; Wk trovata con un qualsiasi metodo
tipo k-means ecc., è data dall’espressione
s (Q) =
b (Q) a (Q)
max (a (Q) ; b (Q)) :
Indicando con W (Q) il cluster, tra i vari W1; :::; Wk, che contiene il punto Q, il numero a (Q)
è la distanza media quadratica di Q dagli altri punti del proprio cluster W (Q):
a (Q) = X
d Q; Q 0 2
:
Q 0 2W (Q)
Il numero b (Q) invece è la distanza media quadratica di Q dai punti del cluster “successivo”,
così de…nito: si calcolano i numeri X
Q 0 2Wi
d Q; Q 0 2
per ogni Wi 6= W (Q) e si prende il minimo; questo è b (Q). Si veri…ca che il numero s (Q)
soddisfa
1 s (Q) 1:
Più s (Q) è vicino a 1, più si ritiene che la clusterizzazione di Q sia buona. Infatti, supponiamo
che s (Q) sia vicino a 1. Innanzi tutto questo implica che b (Q) a (Q) è positivo, quindi
max (a (Q) ; b (Q)) = b (Q) e vale
s (Q) =
b (Q) a (Q)
b (Q)
= 1
a (Q)
b (Q) :
Ora, se questo rapporto vale quasi 1, signi…ca che a (Q) è molto piccolo rispetto a b (Q), cioè
che la distanza media di Q dai suoi compagni di gruppo è decisamente minore di quella dai
membri del gruppo “successivo”. Questo è sintomo di buona clusterizzazione di Q.
La silhouette di un singolo individuo Q serve a giudicare quali individui sono stati raggruppati
bene e quali no. Poi, mediando sugli individui di un gruppo Wi si ottiene la silhouette
media di Wi, che descrive quanto preciso o vago sia il gruppo Wi. In…ne, mediando sui gruppi
si ottiene una silhouette media complessiva della clusterizzazione W1; :::; Wk, che può essere
utilizzata per confrontare vari k tra loro (oltre che vari metodi anche di natura diversa).
Si suggerisce, col software R, l’uso del comando pam, che svolge la cluster analysis con
metodo dei medoidi.
6.5 Esercizi
6.5.1 Esercizio n. 1
Problema: cosa incide sul tasso di disoccupazione (TD)? Vorremmo creare una tabella
con alcune colonne X1; :::; Xn (fattori che forse in‡uiscono sul TD) e la colonna Y =TD,
e come righe (unità sperimentali) le diverse nazioni europee. Dalla sua analisi speriamo
di comprendere le cause di una maggiore o minore disoccupazione. Bisogna allora
prendere il TD ad un certo tempo, es. anno 2009.