Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 35
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
­5 ­4 ­3 ­2 ­1 0 1 2 3 4 5
Gra…co della cdf normale standard
Il limite sinistro di f(x) esiste in ogni punto x0, come per qualsiasi funzione crescente,
ma può essere strettamente minore di F (x0), nel qual caso la funzione F è discontinua in x0.
In tale punto si veri…ca una concentrazione di massa per la , nel senso che (fx0g) > 0.
Questa proprietà è tipica per le misure discrete, e si ritrova anche nelle cosidette distribuzioni
miste, mentre per le misure de…nite da una densità di probabilità la massa dei singoli punti
è nulla.
La funzione F (x) porta il nome di funzione di distribuzione perché da un lato è una
funzione e non una misura, dall’altro però dice tutto della distribuzione (legge) della v.a. a
cui è associata. Spesso nella letteratura applicativa non viene mai introdotto il concetto di
legge di una v.a., essendo un po’ di¢ cile, mentre si cerca di ricondurre tutto all’uso della
funzione di distribuzione F (x), oggetto più semplice, che in e¤etti è su¢ ciente per molti
scopi.
Quando X ha densità f(x), vale
F (x) =
Z x
1
f (t) dt:
Gra…camente, F (x) misura l’area sottesa dal gra…co di f, a sinistra del punto x. Nei punti
in cui f è continua, per il teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo
F 0 (x) = f(x):
Quindi, fa f si ricava F per integrazione, e da F si ricava f per derivazione.
Se X è una v.a. discreta sui numeri interi non negativi, con massa di probabilità pk, vale
F (x) = X
e
1.2.7 V.A. indipendenti
k x
pk
pk = F (k) F (k 1):
Date due v.a. X; Y de…nite sullo stesso spazio probabilizzato ( ; F; P ), diciamo che sono
indipendenti se
P (X 2 A; Y 2 B) = P (X 2 A) P (Y 2 B)
x