Dispense

5.6. PROCESSI NEL CONTINUO 299
De…nizione 56 Un processo stocastico (Bt) t 0 si dice moto browniano (standard) se:
i) B0 = 0
ii) per ogni coppia di tempi t s 0, l’incremento Bt Bs è una v.a. N (0; t s)
0
iii) gli incrementi Btn
t0 < t1 < ::: < tn
Btn 1 , ... , Bt1
Bt0 sono indipendenti, per ogni n 1 e
iv) le traiettorie siano funzioni continue.
Possiamo visualizzare, simulare, delle traiettorie di un MB? Come sempre, le simulazioni
impongono una discretizzazione (lo stesso vale anche se volessimo ra¢ gurare la funzione sin t).
Fissiamo quindi una sequenza di tempi t1 < t2 < ::: < tn rispetto a cui vogliamo i valori di
una traiettoria. Per semplicità. prendiamo i tempi equispaziati:
Vale
Btk
= B 1
N
B 0
N
tk = k
, k = 1; :::; n:
N
+ B 2
N
B 1
N
+ B 3
N
cioè il MB al generico tempo tk = k
N è somma di gaussiane indipendenti e con la stessa
distribuzione, cioè è una RW! Basta quindi rappresentare una RW.
Si può essere quantitativamente più precisi. Supponiamo ad esempio di voler ra¢ gurare
una traiettoria browniana per t 2 [0; 5], usando 5000 punti. Prendiamo N = 1000, k =
1; :::; 5000. Ciascun incremento
B k+1
N
B k
N
B 2
N
+ :::
è una
k + 1 k
1
N 0; = N 0;
N N N
q
1
cioè una gaussiana di deviazione standard N =
q
1
1000 . Ecco allora i comandi:
L