Dispense

5.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI STOCASTICHE 305
La funzione p (t; x) soddisfa l’equazione alle derivate parziali
@p (t; x)
@t
= 1 @
2
2
@x2 2 (x) p (t; x)
@
(b (x) p (t; x))
@x
detta equazione di Fokker-Planck. Abbiamo scritto tutto nel caso di x uni-dimensionale,
ma la teoria si generalizza senza di¢ coltà. Ci sono varianti di questa teoria per dinamiche
stocastiche markoviane di vario tipo, non necessariamente descritte da equazioni di¤erenziali
stocastiche del tipo enunciato sopra. In certi casi l’equazione che corrisponde a Fokker-Planck
si chiama Master Equation.
A volte interessa la soluzione x(t) che esce dal dato iniziale deterministico x0, ma altre
volte può essere più interessante ragionare su soluzioni x(t) non legate a dati iniziali speci…ci,
ma aventi la proprietà di essere stazionarie: in particolare, aventi densità p (t; x) indipendente
da t. In tal caso la densità p (x) risolve l’equazione
1 @
2
2
@x2 2 (x) p (x)
d
(b (x) p (x)) = 0
dx
che è decisamente più semplice della precedente. Nel caso uni-dimensionale si può impostare
una risoluzione generale. Infatti scriviamola nella forma
d
dx
1 d
2 dx
2 (x) p (x) b (x) p (x) = 0
da cui ricaviamo
1 d
2 dx
2
(x) p (x) b (x) p (x) = C1
per una opportuna costante C1. Prendiamo il caso particolare C1 = 0 e supponiamo per un
momento 2 (x) > 0.Col metodo delle variabili separate si ottiene in pochi passi
1 d
2 dx
log
2 (x) p (x) = b (x) p (x)
d 2 (x) p (x)
2 (x) p (x) = 2
2 (x) p (x) = 2
p (x) =
b (x)
2 (x) dx
Z b (x)
2 (x) dx
1
Z 2 (x) exp 2
Z x
0
b (t)
2 (t) dt
per un’opportuna costante Z > 0. Riassumendo, data b(x), se risulta
allora
Z :=
Z +1
1
p (x) =
Z x
1
exp 2
2 (x) 0
Z x
1
exp 2
Z 2 (x) 0
b (t)
2 (t) dt dx < 1
b (t)
2 (t) dt