Dispense

176 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
= 1
2
= 1
2
= 1
2
Z 2
0
Z 2
0
X
n2Z
@ X
e i!n xn
! X
m2Z
0
n;m2Z
X
Z 2
xnxm e
n;m2Z
0
i!(n m) d!
e i!m xm
1
xnxme i!n e i!mA
d!
usando un opportuno teorema di scambio tra serie ed integrali,
= 1
2
X
xnxm2 (n m) = X
xnxn = X
jxnj 2 :
n;m2Z
Il signi…cato della formula di Plancherel è che l’energia “contenuta”in una serie temporale
e l’energia “contenuta” nella sua DTFT coincdono. Un fattore 2 appare in uno dei due
membri se si usano de…nizioni diverse di DTFT.
4) Se g(n) è a valori reali, allora bg ( !) = bg (!).
Proof.
bg ( !)= 1
p 2
=
1
p 2
X
n2Z
n2Z
n2Z
g(n)e i( !)n = 1
p 2
!
n2Z
d!
X
g(n) e i!n
n2Z
X
g(n)e i!n
!
=g (!) :
5) La DTFT della convoluzione di due serie temporali corrisponde (a meno di un fattore,
per altre de…nizioni della DTFT) al prodotto delle DTFT delle due serie di partenza:
F [f g] (!) = p 2 b f (!) bg (!) :
Si noti il fattore p 2 , che non sarebbe stato presente se nella de…nizione di DTFT avessimo
omesso 1
p2 .
Proof.
F[f g] (!) = 1
p 2
= 1
p 2
= 1
p 2
= 1
p 2
X
(f g)(n)e i!n
n2Z
X
n2Z
!
X
f(n k)g(k) e i!n
k2Z
X
g(k)e
k2Z
X
g(k)e
k2Z
p 2 b f(!)bg(!)
i!k X
n2Z
X
i!k
m2Z
f(n k)e
f(m)e i!m
i!(n k)