Dispense

6.3. MODELLI LINEARI 343
Poi, per calcolare b, serve una nuova equazione. Essa si trova semplicemente calcolando
il valor medio a destra e sinistra dell’equazione che de…nisce il modello:
Allora vale
E [Y ] = a1E [X1] + ::: + apE [Xp] + b:
b = E [Y ] (a1E [X1] + ::: + apE [Xp])
da cui si può calcolare un valore empirico b a partire dai dati.
Con un po’di sforzo si potrebbe riconoscere che il risultato è identico a quello ottenuto
sopra con i minimi quadrati. Ci si chiede allora: cosa ha sostituito, qui, la richiesta fatta
sopra che i valori ottimali fossero quelli che minimizzavano SQM? L’indipendenza tra " e le
Xi. Se per certi valori dei parametri risulta " indipendente dalle Xi, signi…ca che il modello
è buono, nel senso che abbiamo sfruttato nel modo migliore le informazioni contenute nelle
Xi, senza ritrovarci parte di quelle informazioni nel resto ". Il resto contiene ciò che non
siamo riusciti a spiegare, e non è nullo, ma l’importante è che non contenga residui legati alle
variabili Xi, altrimenti signi…ca che c’era un’altro modo di usare le Xi più e¢ ciente.
6.3.4 Predizione con modelli regressivi
Nel Paragrafo 6.1.1 abbiamo sottolineato come l’evidenza di elevata correlazione non implichi
in alcun modo l’esitenza di un legame causa-e¤etto. Quando impostiamo un modello di regressione,
invece, stiamo ipotizzando che certe variabili giochino il ruolo di fattori, predittori,
ed altre di output. Mentre nel calcolo della correlazione e nella PCA le variabili sono esaminate
tutte in modo simmetrico, la simmetria è rotta a priori da noi quando impostiamo un
modello regressivo.
Dobbiamo pertanto assicurarci che esista davvero una tale relazione causa-e¤etto, quando
facciamo la regressione? Altrimenti non ha senso farla? Dipende dagli scopi. Se lo scopo
del modello regressivo è solo quello di e¤ettuare previsioni e non di sostenere l’esistenza di
una relazione causa-e¤etto che magari non hanno alcun senso, allora va benissimo applicare
i metodi di regressione anche a variabili che non hanno un legame causa-e¤etto, ma sono
semplicemente ben correlate.
Cosa si intende per “predizione con modelli regressivi”: sulla base di dati noti, si identi…ca
quantitativamente il legame tra certi fattori X1; :::; Xd ed una variabile da predire Y (si
calcolano i coe¢ cienti del modello); in queste situazioni note, si conoscono i valori assunti
da tutte le variabili (X1; :::; Xd; Y ); poi, si applica il modello a situazioni nuove, dove si
conoscono solo i valori assunti dalle variabili (X1; :::; Xd), usanto il modello per calcolare
(predire) il valore di Y .
Bene, ha perfettamente senso applicare questa strategia anche quando le variabili in gioco
non sono legate da relazioni causa-e¤etto; basta che sia buona la loro correlazione.
A parte una banale logica strumentale (il modello funziona bene come scatola nera per
fare predizioni), ci può essere una logica dietro questo fatto? Pensiamo al caso in cui due
variabili X ed Y sono molto correlate, ma non c’è relazione causa-e¤etto; e supponiamo invece
che ci sia una variabile Z che sia causa di entrambe, ma non la possiamo misurare, magari
non l’abbiamo nemmeno individuata. Troviamo la formula regressiva Y = aX + b (che non
ha alcun signi…cato …sico/economico ecc.). In situazioni nuove, misurata X, prevediamo che