Dispense

4.2. MODELLI ARIMA 211
per de…nizione di g. Il problema quindi è il passaggio da un’identità tra polinomi, eventualmente
in…niti (nel senso dello sviluppo di Taylor di funzioni analitiche) ad una tra polinomi
di operatori. Descriviamo gli ingredienti nel prossimo passo.
Passo 4. Siano a (z) e b (z) due polinomi, della forma
a (z) =
nX
akz k ; b (z) =
k=0
mX
bkz k :
Il loro prodotto è un polinomio, che riscriviamo nella forma canonica tramite opportuni
coe¢ cienti ck:
Allora vale anche
nX
akL k
k=0
a (z) b (z) =
n+m X
k=0
mX
bhL h !!
x
h=0
t
ckz k :
=
k=0
n+m X
k=0
ckL k xt
per ogni successione x 2 S. E’su¢ ciente veri…care l’identità per i monomi:
Questo è vero:
akL k bhL h x
akL k bhL h x
t = akbhL k+h xt:
t = akL k (bhx h) t = akbhxt h k
akbhL k+h xt = akbhxt h k:
Fatta la veri…ca per i polinomi …niti, bisogna estenderla ai caso degli sviluppi di Taylor
di funzioni analitiche. La veri…ca è un po’tecnica e la omettiamo.
Può essere istruttivo ora rileggere l’esempio 89 sul modello AR(1).
4.2.9 Funzione di autocorrelazione, primi fatti
Assumimo che X sia un processo ARMA(p; q) a media nulla, soluzione stazionaria di
1
pX
!
Xt =
qX
1 +
!
"t:
k=1
kL k
k=1
kL k
Proposizione 25 (equazioni di Yule-Walker) Per ogni j > q,
R (j) =
pX
k=1
kR (j k) :
Proof. Ricordiamo che R ( n) = R (n). Osserviamo che per ogni n ed m vale
E [Xt nL m Xt] = E [Xt nXt m] = R (m n) :