Dispense

170 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
Si noti che le ipotesi di questi due teoremi ergodici sono molto generali e si potrebbe
dimostrare che valgono per tutti gli esempi stazionari studiati in questo corso.
3.4.2 Funzione di autocorrelazione empirica
Spesso abbiamo bisogno della convergenza delle medie temporali di certe funzioni del porcesso,
e non solo del processo stesso:
1
n
nX
g (Xi) ! g
i=1
Dobbiamo allora veri…care le ipotesi del teorema ergodico per il nuovo processo stocastico
(g (Xn)) n 1 . Ecco un esempio semplice.
Proposizione 21 Sia (Xn) n 0 un processo stazionario in senso lato, con momento quarto
…nito, tale che il valor medio E X 2 nX 2 n+k sia indipendente da n e
In altre parole, assumiamo che
lim
k!1 E X2 0X 2 k = E X2 0
lim
k!1 Cov X2 0; X 2 k
= 0:
Allora 1 Pn n i=1 X2 i converge a E X2 1 in media quadratica ed in probabilità.
Proof. Si consideri il processo Yn = X2 n. La funzione valor medio di (Yn) è E X2 n che è
indipendente da n per la stazionarietà di (Xn). Per la funzione di autocorrelazione abbiamo
poi
C (n; n + k) = E [YnYn+k] E X 2 n
2 2
= E XnX 2 n+k E X 2 n
2
e qui abbiamo bisogno delle nuove ipotesi della proposizione. Quindi (Yn) è stazionario in senso
lato. In…ne, grazie all’ipotesi limk!1 E X2 0X2 k = E X2 2
0 , che signi…ca limk!1 CY (k) =
0 dove CY (k) è la funzione di autocorrelazione di (Yn), possiamo applicare il teorema ergodico.
La dimostrazione è completa.
Ancor più interessante è il seguente risultato, legato alla stima empirica della funzione di
autocorrelazione R (n). Dato un processo (Xn) n 1 , chiamiamo funzione di autocorrelazione
empirica l’espressione
1
n
nX
i=1
XiXi+k:
Teorema 28 Sia (Xn) n 0 un processo stazionario in senso lato, con momento quarto …nito,
tale che E [XnXn+kXn+jXn+j+k] sia indipendente da n e
lim
j!1 E [X0XkXjXj+k] = E [X0Xk] 2
2 :
per ogni k = 0; 1; :::