Dispense

182 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
dove è tale che 0 < < 1, e come sempre
1 (f) =
S (f) f 2 1
3.6.4 Il teorema di Wiener-Khinchin
1 se 0 f
0 altrimenti
Il seguente teorema è è spesso enunciato senza ipotesi precise. Una delle ragioni è che si
può dimostrare a diversi livelli di generalità, con diversi signi…cati dell’operazione di limite
(si tratta di un limite di fuzioni). Daremo ora un enunciato rigoroso sotto ipotesi molto
precise sulla fuzione di autocorrelazione R (n), dimostrando una convergenza piuttosto forte.
L’ipotesi (un po’strana, ma soddisfatta in tutti i nostri esempi) è:
X
R (n) p < 1 per qualche p 2 (0; 1) : (3.7)
n2N
Osservazione 62 L’ipotesi precedente implica
in quanto
X
jR (n)j < 1
n2N
X
jR (n)j = X
n2N
n2N
jR (n)j p 1 p
jR (n)j
sup jR (n)j
n2N
1 p X
n2N
jR (n)j p < 1
(la successione è limitata essendo in…nitesima, come conseguenza del fatto che P
n2N jR (n)jp <
1 P
1). Quindi, sotto tale ipotesi, sappiamo che p2
n2Z e i!nR (n) converge uniformemente
a S (!) per ! 2 [0; 2 ].
Teorema 29 (Wiener-Khinchin) Se (X (n)) n2Z è un processo stazionario in senso lato
che soddisfa l’ipotesi (3.7), allora
S (!) = lim
N!1
1
2N + 1 E b X2N (!) 2
Il limite è uniforme in ! 2 [0; 2 ]. Qui X2N è il processo troncato X 1 [ N;N]. In particolare,
se ne deduce che S (!) è reale non-negativa.
Proof. Diamo prima l’idea euristica su cui è basata la dimostrazione. I dettagli verranno
sviluppati nel seguito.
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