Dispense

3.2. PROCESSI STAZIONARI 163
con a > 0, dove i numeri "i sono piccoli (rispetto ad a, soprattutto). Allora calcoliamo, per
un qualsiasi (basso), la correlazione delle due sequenze
La seconda sequenza si può riscrivere
a 1 + b + "1; :::; a (n k) + b + "n k
a (k + 1) + b + "k+1; :::; a n + b + "n:
ak + a 1 + b + "k+1; :::; ak + a (n k) + b + "n
cioè è data dalla costante ak più ua sequenza simile alla prima (visto che i numeri "i sono
piccoli). Due sequenze che di¤eriscono approssimativamente per una costante hanno correlazione
elevata. Si può arrivare a questo risultato osservando anche che la seconda sequenza
è approssimativamente la trasformazione lineare della prima:
(a (k + 1) + b + "k+1)
= (a 1 + b + "1) + ak + ("k+1 "1)
e così via per i termini successivi, per cui i punti
(a i + b + "i; a (k + i) + b + "k+i)
stanno approssimtivamente (cioè a meno dei numeri "k+i "i) sulla retta di equazione
y = x + ak:
In conclusione, i valori di b (k) sono tutti elevati. Abbiamo veri…cato in un esempio che
l’autocorrelazione di una serie con trend positivo ha valori elevati per tutti i k (in pratica i
valori di b (k) decrescono un po’, ma lentamente).
Esercizio 26 Cosa accade ad una serie storica con trend negativo?
Esempio 82 Nella sezione degli esercizi considereremo la seguente serie storica di ambito
economico: