Dispense

184 CAPITOLO 3. PROCESSI STOCASTICI
dove
Passo 1. Ripartiamo quindi dall’identità (3.8). Introduciamo il resto N;t de…nito da
X
jnj N
ed otteniamo per linearità
X (t + n) X (n) = X
n2Z
X2N (t + n) X2N (n) + N;t
1
S (!)=
2N + 1 E [F (X2N X2N) (!)] + rN (!)
=
1
2N + 1 E b X2N (!) 2
rN (!) =
+ rN (!)
1
2N + 1 E F N;t (!) :
Il teorema sarà dimostrato se mostriamo che rN (!) converge a zero uniformemente in ! 2
[0; 2 ]. A questo scopo dobbiamo esplicitare
Passo 2. Vale
N;t e quindi rN (!).
N;t = X
X (t + n) X (n) X
X2N (t + n) X2N (n)
jnj N
= X
n2 (N;t)
X (t + n) X (n)
n2Z
dove ora tenteremo di descrivere l’insieme di indici (N; t).
Per 0 t 2N vale
Per 2N t < 0 vale
X
X2N (t + n) X2N (n) =
n2Z
X
X2N (t + n) X2N (n) =
n2Z
NX t
n= N
NX
n= N t
X (t + n) X (n) :
X (t + n) X (n) :
In…ne, per t > 2N o t < 2N, vale X2N (t + n) X2N (n) = 0 per ogni n. In generale,
dove
X
X2N (t + n) X2N (n) =
n2Z
[N t ; N + t
X
n2[N t ;N + t ]
X (t + n) X (n) :
8
><
; se t < 2N
[ N t; N] se 2N t < 0
] =
>:
[ N; N t] se 0 t 2N
; se t > 2N