Dispense

1.2. VARIABILI ALEATORIE E VALORI MEDI 57
il legame di proporzionalità lineare tra le variabili è dato da
Lo si può veri…care calcolando
= Cov (X; Y )
:
V ar [X]
Cov (X; Y ) = Cov (X; X + + ")
ed applicando la linearità della covarianza nella seconda variabile.
1.2.19 Esempi
Esempio 39 Se X B (1; p), si vede subito che anche X 2 B (1; p), quindi E X 2 = p.
Pertanto
E X 2 2 = p p 2 = pq:
Per una Bernoulli di parametro p vale allora
e = p pq.
V ar [X] = pq
Esempio 40 Se X B (n; p), usando il fatto che la somma di n v.a. B (1; p) indipendenti
è una B (n; p), e ricordando che la varianza della somma di v.a. indipendenti è uguale alla
somma delle varianze, troviamo
V ar [X] = npq
e
= p n p pq:
Quest’ultimo fatto era già stato anticipato in un esempio della lezione 2, riguardo al fatto
che per n grande la binomiale si “concentra” intorno alla propria media.
Esempio 41 Se X P ( ), vale
V ar [X] = :
Questo fatto si può dimostrare rigorosamente usando la densità di massa, ma richiede un
certo numero di calcoli un po’noiosi. Accontentiamoci di accettare il risultato sulla base del
seguente ragionamento sensato (ma non rigoroso): prendiamo una v.a. Xn B (n; pn), con
= npn. Se n è grande, sappiamo che la legge di Xn approssima la legge di X; allora anche
la varianza di Xn, che è npnqn dovrebbe approssimare la varianza di X; ma npnqn = qn e
qn ! 1 per n ! 1 (in quanto qn = 1 pn = 1 n ).
Esempio 42 Se X N ; 2 , vale
V ar [X] = 2 :
Nel prossimo paragrafo svolgeremo un conto di questo tipo ma più complesso, per cui ora
omettiamo la veri…ca. Quindi i due parametri e 2 della normale N ; 2 sono la sua
media e la sua varianza (come le notazioni lasciavano pensare).