Dispense

1.1. EVENTI E LORO PROBABILITÀ 5
Sono eventi che a¤ermano qualcosa del processo Xt solo entro il tempo T , solo relativamente
all’intervallo [0; T ]. La famiglia F 0 T di tutti questi eventi descrive un certo grado di
informazione, l’informazione di cosa può accadere nell’intervallo [0; T ].
Al crescere di T questa famiglia cresce, cioè F 0 T F 0 S se T < S. Si acquisisce nuova
informazione, su un periodo di tempo maggiore.
1.1.4 Algebre di eventi
Ricordiamo che la famiglia di tutti i sottoinsiemi di , detta famiglia delle parti di , si usa
indicare con P ( ).
De…nizione 1 Chiamiamo algebra di insiemi di una famiglia F P ( ) che sia chiusa
per tutte le operazioni insiemistiche …nite e tale che 2 F.
Chiusa per tutte le operazioni insiemistiche …nite signi…ca che se A; B 2 F allora
A [ B 2 F, A \ B 2 F, A c 2 F,
(il complementare A c è inteso rispetto allo spazio ambiente ) e di conseguenza anche AnB 2
F, A4B 2 F, dove AnB è l’insieme dei punti di A che non stanno in B, e la di¤erenza
simmetrica A4B è l’unione di AnB più BnA. Dal fatto che 2 F e A c 2 F discende che
; 2 F. Si ricordino le formule di De Morgan
(A [ B) c = A c \ B c
(A \ B) c = A c [ B c
che si usano spesso quando si eseguono nei dettagi certe veri…che.Valgono inoltre proprietà
distributive tra unione e intersezione, su cui non insistiamo.
Due esempi semplici di algebre di insiemi sono F = P ( ), F = f;; g. La veri…ca che
P ( ) è un’algebra è ovvia. Nel caso di f;; g, si osservi ad esempio che ; [ = , ; \ = ;,
; c = ; non si esce dalla famiglia f;; g e¤ettuando operazioni insiemistiche sui suoi elementi.
Un altro esempio, per così dire intermedio tra i due, è
F = f;; ; A; A c g :
La veri…ca che sia un’algebra è identica al caso di f;; g. L’algebra f;; g non contiene alcuna
informazione, f;; ; A; A c g contiene l’informazione relativa al solo evento A, P ( ) contiene
tutte le infomazioni possibili.
Un esempio importante, nello spazio = R, è la famiglia F dei pluri-intervalli, composta
da tutti i seguenti insiemi, che elenchiamo:
; ed R stesso
gli intervalli (chiusi, aperti, semi-aperti) di estremi a < b (anche in…niti)
tutti gli insiemi che si ottengono per unione …nita dei precedenti.